Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ die Orthonormalbasis und es seien

{}M=(a_{ij})_{ij}\,

bzw.

{}N=(b_{ij})_{ij}\,

die Matrizen von ${}\varphi$ bzw. ${}{\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere

{}\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k}\,

und

{}{\hat {\varphi }}(u_{i})=\sum _{k=1}^{n}b_{ki}u_{k}\,.

Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung

{}{\begin{aligned}a_{ji}&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},{\hat {\varphi }}(u_{j})\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},\sum _{k=1}^{n}b_{kj}u_{k}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},b_{ij}u_{i}\right\rangle \\&={\overline {b_{ij}}}.\end{aligned}}

D.h.

{}{{\overline {N}}^{\text{tr}}}=M\,

und umgekehrt.