Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung

Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist

${}{\begin{aligned}\left\langle (\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1})(w),z\right\rangle &=\left\langle \psi (\varphi (\psi ^{-1}(w))),z\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (\psi ^{-1}(w)),\psi ^{-1}(z)\right\rangle \\&=\left\langle \psi ^{-1}(w),{\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z))\right\rangle \\&=\left\langle w,\psi ({\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z)))\right\rangle \\&=\left\langle w,(\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1})(z)\right\rangle ,\end{aligned}}$

also ist der adjungierte Endomorphismus zu ${}\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}$ gleich ${}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.

Zur gelösten Aufgabe