Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt/Beweis

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Beweis

Es ist

und unter Verwendung von Fakt  (3) ist

Wenn und vertauschen, so gilt also auch

für beliebige . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist

für alle und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.