Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,{\hat {\varphi }}(\varphi (w))\right\rangle =\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle \,$

und unter Verwendung von Fakt  (3) ist

${}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ({\hat {\varphi }}(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,.$

Wenn ${}\varphi$ und ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschen, so gilt also auch

${}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,$

für beliebige ${}v,w\in V$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist

${}\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.

Zur bewiesenen Aussage