Vektorraum/Summe/Linear/Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Wir bezeichnen die Summenabbildung mit ${}\Sigma$. Die Linearität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\Sigma {\left(\left(v_{1},\,v_{2}\right)+\left(w_{1},\,w_{2}\right)\right)}&=\Sigma \left(v_{1}+w_{1},\,v_{2}+w_{2}\right)\\&=v_{1}+w_{1}+v_{2}+w_{2}\\&=v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}\\&=\Sigma \left(v_{1},\,v_{2}\right)+\Sigma \left(w_{1},\,w_{2}\right)\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\Sigma {\left(s\left(v_{1},\,v_{2}\right)\right)}&=\Sigma \left(sv_{1},\,sv_{2}\right)\\&=sv_{1}+sv_{2}\\&=s{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=s\Sigma \left(v_{1},\,v_{2}\right).\end{aligned}}$

b) Die beschreibende Matrix bezüglich der angegebenen Basen ist

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &0&0&0&\ddots &0\\0&0&\cdots &1&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$

Das Basiselement ${}(v_{i},0)$ wird ja auf

${}v_{i}+0=v_{i}\,$

abgebildet, deshalb steht in der ${}i$-ten Spalte der Matrix an der ${}i$-ten Stelle eine ${}1$ und an den anderen Stellen eine ${}0$. Entsprechendes gilt für ${}(0,v_{i})$.

Zur gelösten Aufgabe