Vektorraum/Tensorprodukt/K und 0/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus Fakt  (2).

(2). Die Skalarmultiplikation

$V\times K⟶V,(v,s)⟼sv,$

ist multilinear, daher gibt es nach Fakt eine lineare Abbildung

$V\otimes K⟶V,v\otimes s⟼sv.$

Diese ist surjektiv, da $v\otimes 1$ auf $v$ abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt

$\sum _{i=1}^n{a}_i(v_i\otimes s_i)=\sum _{i=1}^n(a_i{s}_i)(v_i\otimes 1)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{s}_i{v}_i\right)\otimes 1.$

Wenn dieses auf $0$ abgebildet wird, so ist also

$\sum _{i=1}^n{a}_i{s}_i{v}_i=0$

und damit ist das Tensorelement auch $0$, die Abbildung ist also auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage