Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis2

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

$[v]+[w]=[v+w]$

und die Skalarmultiplikation durch

$\lambda [v]=[\lambda v]$

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf $V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für $[v]=[v^{\prime }]$ und $[w]=[w^{\prime }]$ zu zeigen, dass  $[v+w]=[v^{\prime }+w^{\prime }]$  ist. Nach Voraussetzung können wir $v^{\prime }=v+u$ und $w^{\prime }=w+u^{\prime }$ mit  $u,u^{\prime }\in U$  schreiben. Damit ist

$v^{\prime }+w^{\prime }=v+w+u+u^{\prime }$

und dies ist wegen  $u+u^{\prime }\in U$  äquivalent zu $v+w$. Zur Skalarmultiplikation sei wieder  $v^{\prime }=v+u$  mit  $u\in U$.  Dann ist

$\lambda v^{\prime }=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u,$

und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.

Zur bewiesenen Aussage