Aus u ∈ U ∩ U ⊥ {\displaystyle {}u\in U\cap U^{\perp }} folgt direkt
und daher u = 0 {\displaystyle {}u=0} . Somit ist die Summe direkt. Es sei u 1 , … , u k {\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{k}} eine Orthonormalbasis von U {\displaystyle {}U} , die wir zu einer Orthonormalbasis u 1 , … , u n {\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}} von V {\displaystyle {}V} ergänzen. Dann ist
und somit ist V {\displaystyle {}V} die Summe aus den Unterräumen.
folgt direkt
.
Somit ist die Summe direkt. Es sei 
eine
Orthonormalbasis
von 
, die wir zu einer Orthonormalbasis 
von 
ergänzen. Dann ist
die Summe aus den Unterräumen.
