Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für
muss man lediglich normieren, also durch
ersetzen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit
bereits konstruiert. Wir setzen
-
Dieser Vektor steht wegen
senkrecht auf allen und offenbar ist
-
Durch Normieren von
erhält man
.