Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$. Nach Fakt  (4) besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert ${}\lambda$ mit dem zugehörigen Eigenraum

${}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,.$

Nach Fakt  (1) ist das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ dazu ebenfalls invariant, und es liegt eine direkte Summenzerlegung

${}V=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\oplus U^{\perp }\,$

vor. Wir wählen auf dem Eigenraum eine Orthonormalbasis. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U^{\perp }$ ist ebenfalls selbstadjungiert und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}U^{\perp }$ liefert die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage