Vektorraum mit Skalarprodukt/Selbstadjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus. Dann heißt selbstadjungiert, wenn

für alle gilt.

Die Selbstadjungiertheit bedeutet also einfach

Eine Streckung ist genau dann selbstadjungiert, wenn der Streckungsfaktor reell ist.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

ein Endomorphismus.

Dann ist genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer (jeden) Orthonormalbasis von durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird.

Beweis  

Wenn selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus Fakt. Wenn umgekehrt bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird, so wird, wiederum nach Fakt, der adjungierte Endomorphismus bezüglich der Basis durch

beschrieben, stimmt also mit überein.



Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem -invarianten Untervektorraum ist auch das orthogonale Komplement -invariant.
  2. Alle Eigenwerte sind reell.
  3. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
  4. Es sei endlichdimensional. Dann zerfällt das charakteristische Polynom zu in Linearfaktoren.

Beweis  

(1). Es sei und . Wegen der Invarianz von ist auch . Daher ist

Also steht senkrecht auf und gehört damit zu , was dessen Invarianz bedeutet.

(2). Dies ist nur bei relevant. Es sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor, also

Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist

also ist reell.

(3). Es sei ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert . Dann ist

Dies ist nur bei

möglich.

(4). Wir können annehmen, dass mit dem Standardskalarprodukt vorliegt. Bei ist die Aussage bekannt, sei also . Wir können die Abbildung auch als Abbildung von nach auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.


Die folgende Aussage heißt Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.


Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein selbstadjungierter Endomorphismus.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren zu .

Beweis  

Wir führen Induktion über die Dimension von . Nach Fakt  (4) besitzt einen Eigenvektor , den wir als normiert voraussetzen können, und nach Fakt  (1) ist das orthogonale Komplement

dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung

vor. Die Einschränkung von auf ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.