Vektorraum mit Skalarprodukt/Selbstadjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus. Dann heißt $\phi$ selbstadjungiert, wenn

$⟨\phi (u),v⟩=⟨u,\phi (v)⟩$

für alle  $u,v\in V$  gilt.

Die Selbstadjungiertheit bedeutet also einfach

$\phi =\hat{\phi }.$

Eine Streckung ist genau dann selbstadjungiert, wenn der Streckungsfaktor reell ist.

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus.

Dann ist $\phi$ genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer (jeden) Orthonormalbasis von $V$ durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird.

Beweis

Wenn $\phi$ selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus Fakt. Wenn umgekehrt $\phi$ bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix $M$ beschrieben wird, so wird, wiederum nach Fakt, der adjungierte Endomorphismus $\hat{\phi }$ bezüglich der Basis durch

${\bar{M}}^{\text{tr}}=M$

beschrieben, stimmt also mit $\phi$ überein.

$◻$

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\phi :V⟶V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem $\phi$-invarianten Untervektorraum  $U\subseteq V$  ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ $\phi$-invariant.
2. Alle Eigenwerte sind reell.
3. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
4. Es sei $V$ endlichdimensional. Dann zerfällt das charakteristische Polynom zu $\phi$ in Linearfaktoren.

Beweis

1. Es sei  $v\in U^{\perp }$  und  $u\in U$.  Wegen der Invarianz von $U$ ist auch  $\phi (u)\in U$.  Daher ist

   $⟨\phi (v),u⟩=⟨v,\phi (u)⟩=0.$

   Also steht $\phi (v)$ senkrecht auf $U$ und gehört damit zu $U^{\perp }$, was dessen Invarianz bedeutet.

2. Dies ist nur bei  $𝕂=ℂ$  relevant. Es sei  $\lambda \in ℂ$  ein Eigenwert und  $v\in V$  ein Eigenvektor, also

   $\phi (v)=\lambda v.$

   Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist

   $\lambda =⟨\lambda v,v⟩=⟨\phi (v),v⟩=⟨v,\phi (v)⟩=⟨v,\lambda v⟩=\bar{\lambda },$

   also ist $\lambda$ reell.

3. Es sei $v_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\lambda }_1$ und $v_2$ ein Eigenvektor zum Eigenwert  ${\lambda }_2\ne {\lambda }_1$.  Dann ist

   ${\lambda }_1⟨v_1,v_2⟩=⟨{\lambda }_1{v}_1,v_2⟩=⟨\phi (v_1),v_2⟩=⟨v_1,\phi (v_2)⟩=⟨v_1,{\lambda }_2(v_2)⟩=\overline{{\lambda }_2}⟨v_1,v_2⟩={\lambda }_2⟨v_1,v_2⟩.$

   Dies ist nur bei

   $⟨v_1,v_2⟩=0$

   möglich.

4. Wir können annehmen, dass  $V={𝕂}^n$  mit dem Standardskalarprodukt vorliegt. Bei  $𝕂=ℂ$  ist die Aussage bekannt, sei also  $𝕂=ℝ$.  Wir können die Abbildung auch als Abbildung von ${ℂ}^n$ nach ${ℂ}^n$ auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.

$◻$

Die folgende Aussage heißt Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\phi :V⟶V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ aus Eigenvektoren zu $\phi$.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Nach Fakt  (4) besitzt $\phi$ einen Eigenvektor $v$, den wir als normiert voraussetzen können, und nach Fakt  (1) ist das orthogonale Komplement

$W=𝕂v^{\perp }$

dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung

$V=𝕂v\oplus W$

vor. Die Einschränkung von $\phi$ auf $W$ ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.

$◻$