Verknüpfung/a^2-ab+b^2/Rechnung/1/Aufgabe/Lösung

1. Da die natürlichen Zahlen total geordnet sind, ist

   ${}a\geq b\,$

   oder

   ${}b\geq a\,.$

   Im ersten Fall ist dann auch

   ${}a^{2}=a\cdot a\geq a\cdot b\,$

   nach Fakt  (3) und somit erst recht

   ${}a^{2}+b^{2}\geq a\cdot b\,.$

   Diese Abschätzung ergibt sich im anderen Fall genauso.

2. Wir betrachten die Bedingung

   ${}e\star x=x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N}$, die für ein neutrales Element ${}e$ gelten muss. Dies muss insbesondere auch für ${}x=0$ gelten, was auf

   ${}0=e\star 0=e^{2}-0+0=e^{2}\,$

   führt. Der einzige Kandidat ist also ${}e=0$. Allerdings ist

   ${}e\star 2=0\star 2=2^{2}=4\,$

   und somit ist ${}0$ nicht das neutrale Element. Es gibt also kein neutrales Element.

3. Es ist

   ${}5\star (4\star 3)=5\star (16+9-12)=5\star 13=25+169-65=129\,.$

Zur gelösten Aufgabe