Veronesering/2 Variablen/3. Stufe/Tangentialbündel/Beispiel

Wir betrachten den Veronese-Ring der Stufe ${}3$ in zwei Variablen, er ist der Determinantenring zur Matrix

${}{\begin{pmatrix}Y^{3}&Y^{2}Z&YZ^{2}\\Y^{2}Z&YZ^{2}&Z^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B&C\\B&C&D\end{pmatrix}}\,.$

Die Gleichungen sind

$AC-B^{2},\,AD-BC,\,BD-C^{2},$

und die symmetrische Algebra des Kähler-Moduls wird durch ${}dA,dB,dC,dD$ erzeugt, mit den Relationen

$AdC+CdA-2BdB,\,AdD+DdA-BdC-CdB,\,BdD+DdB-2CdC.$

Daher ist die Faser in der symmetrischen Algebra über der Singularität sogar vierdimensional und ist eine eigene Komponente.