Veronesering/Polynomring/Kanonischer Modul/Beispiel

Der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$ mit der Standardgraduierung besitzt den graduierten kanonischen Modul ${}P(-d)$. Der ${}k$-te Veronese-Ring davon besitzt die Divisorenklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(k)$, wobei die reflexiven Moduln vom Rang eins durch

${}M_{r}=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }K[X_{1},\ldots ,X_{d}]_{r+ik}\,$

für  ${}r=0,1,\ldots ,k-1$  gegeben sind. Nach Bruns/Herzog, Exc 3.6.21, ist der kanonische Modul von ${}P^{(k)}$ gleich ${}M_{-d}$. Bei  ${}d=2$  und  ${}k=1,2$  ist dies trivial, für  ${}k\geq 3$  nicht. In jedem Fall ist es ${}\mathbb {Q}$-Gorenstein.