Wegintegral/Identisches Vektorfeld/Verbindender Weg/Aufgabe/Kommentar

Benutzen wir die Definition des Wegintegrals und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir

$\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt=\int _{a}^{b}\left\langle \gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt.$

Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)$

gilt mit Hilfe der Kettenregel

$(f^{2})'=(f\cdot f)'=2\cdot f'\cdot f.$

Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.

In der Standardbasis ist ${}\gamma (t)=(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))$ mit den Koordinatenfunktionen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$. Damit erhalten wir

$(\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle )'=(\gamma _{1}^{2}(t)+\gamma _{2}^{2}(t))'=2\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+2\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t)$

$=2(\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t))=2\left\langle (\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t)),(\gamma _{1}'(t),\gamma _{2}'(t))\right\rangle$

Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass ${}{\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle$ eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich

$\int _{\gamma }F={\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle \vert _{a}^{b}={\frac {1}{2}}(\left\langle Q,Q\right\rangle -\left\langle P,P\right\rangle )={\frac {1}{2}}(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}).$

Zur kommentierten Aufgabe