Wie lange kann man noch Urlaub auf den Malediven machen?

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Modellierungsthema[Bearbeiten]

Wir wollen herausfinden, in welchem Jahr die Malediven überschwemmt sind. Grund dieses Phänomens ist der jährliche Anstieg des Meeresspiegels.

Addu Atoll mit der Insel Wilingili


Ziele[Bearbeiten]

  • Darstellung einer spezifischen Insel der Malediven
  • Darstellen einer Funktion, die den Meeresspielanstieg verdeutlicht
  • Meeresspiegelanstieg und Fläche der Malediven in Zusammenhang bringen


Technische Werkzeuge:

Im OLAT befindet ist im Materialordner nun eine csv Datei der geographischen Daten, die in Octave eingelesen werden können, siehe die Skript 'Malediven'. Allerdings sieht die Insel anders aus, wieso?

Mathematische Werkzeuge für das Modell[Bearbeiten]

Sekundarstufe I[Bearbeiten]

  • Datenrecherche des Insel, bzgl. Höhe und Größe
  • Datenrecherche der Höhe des Meeresspiegels
  • Datenrecherche und in Tabellenform bringen
  • Diagramme erstellen, z.B. ein Säulendiagramm
  • Summe berechnen mithilfe der Tabellenkalkulation
  • Mittelwert berechnen der Jahre und des Anstiegs
  • Programme: Tabellenkalkulation

Sekundarstufe II[Bearbeiten]

  • Trendlinie erstellen
  • Regressionsgerade berechnen
  • Arbeiten mit der Regressionsgerade
  • Satellitenbilder Auswertung
  • Programme: Tabellenkalkulation, GeoGebra

Uni[Bearbeiten]

  • Lineare Regression berechnen
  • Matrixdarstellung in Octave
  • Matrizen zusammenfügen (Wasser-und Inselmatrix)

Modellierungszyklen[Bearbeiten]

Zyklus 1: Insel in Matrix überführen[Bearbeiten]

Schematische Darstellung des Atolls

Villingili, auch Wilingili genannt, ist die Insel, die wir darstellen. Sie gehört zum Addu-Atoll (Seenu). Dort befindet sich die höchste Erhebung der Malediven mit zwei Metern über dem Meeresspiegel. Dies ist der Grund, weshalb wir uns für diese Insel entschieden haben.


Mit Hilfe einer Satellitenaufnahme, die zeigt, welcher Teil der Insel bei welcher Erhöhung untergeht, haben wir eine 20x28 Matrix erstellt:

Vorabmatrix der Insel

A=

   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    5    6    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    7    6    6    7    6  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    9    9    9    7  5
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    7    7    7  5
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0   13    9    9    9  6
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    9    9    9  3
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    9    9    7  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    9    9    9    3  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    7    7    4    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    5    3    3    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    6    3    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    5    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    3    2    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    3    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    2    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    2    4    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    2    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    3    3    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    0    3    1    1    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    0    0    0    0    5    2    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   1    0    0    0    0    0    3    4    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    1    0    0    3    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    1    2    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0
   0    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0  0

Verbesserung des Zyklus 1: Insel in Matrix überführen[Bearbeiten]

GeoGebra Datei


Um eine genauere Annäherung der Insel zu erhalten wurden die Quadrate, mit deren Hilfe die vorherige Matrix erstellt wurde, verkleinert. Diese wurden mit Hilfe des Programmes GeoGebra eingeteilt. Dabei wurde jedes größere Quadrat in weitere kleinere geteilt. Die vorherige Einteilung der Quadrate lieferte jeweils einen Flächeninhalt von 1ha. Durch die Verkleinerung dieser, blieb ein Flächeninhalt pro Quadrat von 0,25ha übrig.


Da hier das Problem auftauchte, dass ein eingeteiltes Quadrat beispielsweise zur Hälfte aus Wasser und zur Hälfte aus Insel bestand, wurde auch hier mit Hilfe von GeoGebra eine Gewichtung durchgeführt. Um eine möglichst realitätsnahe Abbildung der Insel zu erhalten, wurde jeweils an den Randpunkten der Insel bestimmt zu welchem Prozentanteil Land, beziehungsweise Wasser vorhanden war. Diese Daten wurden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (Excel) eingegeben um eine erste Ansicht der Matrix, die die Insel repräsentiert zu erhalten. Im unteren Bild ist die Matrix in der Excel-Datei abgebildet. Die Matrix in einer Excel-Datei

Zyklus 2: Matrix Darstellung in Octave[Bearbeiten]

Um genauere Werte zu bekommen, haben wir die Matrix in Octave interpoliert. Interpolation bezeichnet dabei eine Klasse von Problemen und verfahren, um zu gegebenen diskreten Daten eine stetige Funktion zu finden, die diese Daten abbildet. Man sagt die Funktion interpoliert die Daten.

In Octave haben wir jedoch die kubische-Spline Interpolation verwendet, da diese die Daten Stückweise mit einem Polynom dritten Grades approximiert. In der Mathematik ist die bikubische Interpolation eine Erweiterung der kubischen zum Interpolieren von Datenpunkten auf einem zweidimensionalen regulären Gitter . Die interpolierte Oberfläche ist glatter als die entsprechenden Oberflächen, die durch bilineare Interpolation oder Interpolation zum nächsten Nachbarn entsteht. Für eine Anwendung der bikubischen Splint-Interpolation, müssen die zu interpolierenden Punkte in einem rechteckigen Gitter angeordnet sein. Jede zwischen vier Punkten aufgespannte Fläche wird durch ein zweidimensionales Polynom von 16 Koeffizienten charakterisiert:



Für eine zweidimensionale Darstellung müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass die aus allen Flächen zusammengesetzte Funktion zweimal stetig in x- und y-Richtung differenzierbar ist. Das heißt, neben S selbst sind die folgenden Ableitungen stetig auf ganz :



Jede Teilfäche , die durch 4 Punkte aufgespannt wird, kann durch ein kubisches Polynom mit vier Koeffizienten, welches parallel zur x-Achse oder y-Achse läuft, beschrieben werden. Zu jeder Fläche , welche das zweidimensionale Polynom beschreibt, stehen vier eindimensionale Randpolynome mit 16 Koeffizienten: . Um diese Randpolynome von den Teilflächen "zusammenzurechnen" ist es erforderlich, ein System von 16 linearen Gleichungen aufzustellen. Die Matrix A1 wurde nun in Octave eingegeben und mit dem Befehl der kubischen-Interpolation dargestellt. (Bilder siehe unten)




Die erweiterte und verbesserte Matrix A1:

Die 3D-Darstellungen der A1 Matrix und der interpolierten Matrix:

A1..png
interpolierte Inselmatrix













Verbesserung des Zyklus 2: Matrix Darstellung in Octave[Bearbeiten]

Die gewonnen Daten aus den Satelliten aufnahmen, bezüglich der Höhe, entsprechen hier nicht der Realität. Diese liefern, wie in der Abbildung zu sehen eine maximale Höhe der Insel von 13m. Zu beachten ist hier, dass die gewonnenen Satellitenbilder nicht berücksichtigen ob der Boden der Insel dieser Höhe entspricht. Hier wurden vermutlichen die auf der Insel befindlichen Palmen mit berücksichtigt, sowie eventuell erbaute Gebäude. Die Insel hat nach Recherchen eine reale Höhe von 2,4m. Um also eine reale Abbildung der Insel in Octave zu erhalten, wurde die Insel mit dem Faktor :

multipliziert. Das liefert eine geänderte Matrix, deren Höhe der Realität entspricht. Zu sehen ist hier der Plot der gewichteten Matrix. Diese wurde ebenfalls in Octave Interpoliert und dargestellt. Dabei erkennt man hier einen besseren Übergang zwischen Meer und Insel.


Spline-Interpolierte Insel
Linear-Interpolierte Insel


















Zyklus 3: Meeresspiegelanstieg im Laufe der Zeit (Jahren)[Bearbeiten]

Wir haben die Daten des Meeresspiegelanstiegs gesammelt und in einer Exceltabelle zusammengetragen. Die Daten beginnen im Jahr 1961 und reichen bis ins Jahr 2008, wobei der Meeresspiegel bis 1992 jährlich um 1,8mm und ab 1993 um 3,1mm gestiegen ist. Ab dem Jahr 2004 steigt er nur noch jährlich um 2,5mm.

Säulendiagramm des Meeresspiegelanstiegs von 1961-2008


Jahr Meeresspiegel in mm
1900 0
1961 1,8
1962 3,6
1963 5,4
1964 7,2
1965 9
1966 10,8
1967 12,6
1968 14,4
1969 16,2
1970 18
1971 19,8
1972 21,6
1973 23,4
1974 25,3
1975 27
1976 28,8
1977 30,6
1978 32,4
1979 34,2
1980 36
1981 37,8
1982 39,6
1983 41,4
1984 43,2
1985 45
1986 46,8
1987 48,6
1988 50,4
1989 52,2
1990 54
1991 55,8
1992 57,6
1993 60,7
1994 63,8
1995 66,9
1996 70
1997 73,1
1998 76,2
1999 79,3
2000 82,4
2001 85,5
2002 88,6
2003 91,7
2004 94,2
2005 96,7
2006 99,2
2007 101,7
2008 104,2


Für die Jahre ab 2008 haben wir mithilfe von Excel den Meeresspiegel für die kommenden Jahrhunderte prognostiziert.

Prognose der Meeresspiegelhöhe bis 2100
Jahr Meeresspiegel in mm
2009 106,83004
2010 109,459734
2011 112,08942
2012 114,71922
2013 117,348815
2014 119,978509
2015 122,608203
2016 125,237897
2017 127,86759
2018 130,497284
2019 133,126978
2020 135,756672
2021 138,386365
2022 141,016059
2023 143,645753
2024 146,275447
2025 148,90514
2026 151,534834
2027 154,164528
2028 156,79422
2029 159,423915
2030 162,053609
2031 164,683303
2032 167,312997
2033 169,94269
2034 172,572384
2035 175,202078
2036 177,831772
2037 180,461465
2038 183,091159
2039 185,720853
2040 188,350547
2041 190,98024
2042 193,609934
2043 196,239628
2044 198,869322
2045 201,499015
2046 204,128709
2047 206,758403
2048 209,388097
2049 212,01779
2050 214,647484
2051 217,277178
2052 219,906872
2053 222,536565
2054 225,166259
2055 227,795953
2056 230,425647
2057 233,05334
2058 235,685034
2059 238,314729
2060 240,944424
2061 243,574119
2062 246,203814
2063 248,833509
2064 251,463203
2065 254,092898
2066 256,722593
2067 259,352288
2068 261,981983
2069 264,611678
2070 267,241373
2071 269,871067
2072 272,500762
2073 275,130457
2074 277,760152
2075 280,389847
2076 283,019542
2077 285,649237
2078 288,278931
2079 290,908626
2080 293,538321
2081 296,168016
2082 298,797711
2083 301,427406
2084 304,057101
2085 306,686795
2086 309,31649
2087 311,946185
2088 314,57588
2089 317,205575
2090 319,83527
2091 322,464965
2092 325,09466
2093 327,724354
2094 330,354049
2095 332,983744
2096 335,613439
2097 338,243134
2098 340,872829
2099 343,502524
2100 346,132218

Zyklus 4: Zusammenfügung der Wasser- und Inselmatrix[Bearbeiten]

In diesem Zyklus fügen wir zu der interpolierten Inselmatrix eine Wassermatrix mit verschiedenen Wasserhöhen hinzu.


Meerespiegelanstieg um 1m Meeresspiegelanstieg um 2m Meeresspiegelanstieg um 3m Meeresspiegelanstieg um 4m Meeresspiegelanstieg um 5m Meeresspiegelanstieg um 7m Meeresspiegelanstieg um 9m Meeresspiegelanstieg um 13m

Dabei lässt sich erkennen, dass keine Insel mehr vorhanden sein wird, wenn der Meeresspiegel eine Höhe von 13m erreicht hat.


Verbesserung des Zyklus 4[Bearbeiten]

Um besser darzustellen ab wann kein Leben mehr auf der Insel möglich ist, wurde die Gesamtfläche der Insel betrachtet. Diese wurde mit Hilfe der Matrix und den Satellitenaufnahmen erstellt. Zunächst haben wir die Länge eines Quadrates bestimmt, welche über das Bild der Insel gelegt wurde. Eine Länge entspricht dabei . Der Maßstab dieses Bildes war dabei .

Füge hier noch Bilder der skalierten und gewichteten matrix ein

Sek. II Niveau[Bearbeiten]

Auf dem Sek. II Niveau, kann man nun, wie wir es im Vorfeld getan haben, eine Fläche approximieren, indem man die Insel mit einer geometrischen Figur beschreibt. Weiter kann man die Insel mit Qudraten auslegen, deren Größe man schon kennt, um die Gesamtfläche zu bestimmen. Da wir im Vorfeld die Insel in Quadrate eingeteilt haben, nutzen wir diese Möglichkeit. Schaut man sich die Insel an, dann gibt es bei einem Meeresspiegel anstieg von , noch Qudrate mit einem Flächeninhalt von. Dies liefert also die folgende Rechnung:

Es existieren also bei einem Meeresspiegel anstieg von noch der Fläche der Insel.

Dies kann man für verschiedene Anstiege des Meeresspiegels berechnen.

Allgemein kann man also die Fläche berechnen als:


* der vorhanden Quadrate = die restliche Fläche der Insel


Meeresspiegel bei 2m:

Meeresspiegel bei 3m

Meeresspiegel bei 4m:

Meeresspiegel bei 5m:

Meeresspiegel bei 6m:

Meeresspiegel bei 7m:

Meeresspiegel bei 8m:

Meeresspiegel bei 9m:

Meeresspiegel bei 13m:

Laut dem Experiment „Weltacker", benötigt ein Mensch zum überleben eine Ackerfläche, von durchschnittlich , um alle lebenswichtigen Nahrungsmittel, sowie Energiepflanzen anzubauen. Diese Überlegung führt dazu, dass bei einem Meeresspiegel von noch durchschnittlich 36 Personen auf der Insel leben können. Bei kann nach diesem Projekt jedoch nur noch ein Mensch auf der Insel überleben. Zu beachten ist, dass man hierbei davon ausgeht, das kein Import stattfindet, sondern die Insel sich selbst versorgt.

Zyklus 5: Erstellung der Regressionsgerade und Prognose[Bearbeiten]

Um die Jahreszahl bestimmen zu können, berechnen wir mit unseren gegebenen Werten eine Regressionsgerade. Dabei nutzen wir den Mittelwert der Daten (hier beschriftet als Mitt X)

Tabelle zur Regression

















Um den Anstieg des Meeresspiegels ablesen zu können, ermitteln wir mithilfe der Regressionsanalyse eine (lineare) Regressionsgerade des Anstiegs in Abhängigkeit der Jahreszahlen. Wie in Zyklus 3 sind dabei die Jahreszahlen auf der X-Achse zu finden und die Meeresspiegelhöhe auf der Y-Achse. Die Werte für die Berechnung entnehmen wir aus Tabelle 2. Wir besitzen also das Zahlenpaar.Dabei ist die Jahreszahl und die Höhe des Meeresspiegels. Die gesammelten Daten liegen annähernd auf einer Funktion, die mit : beschrieben werden kann. Die Abweichung der Daten zu der Gerade bezeichnen wir mit Residuen, diese sollen dabei möglichst klein gehalten werden. Wir suchen nun eine lineare Funktion, für die : minimal wird. Wir suchen also reelle Zahlen a und b, so dass

minimal ist. Dabei nutzen wir die Formeln für


Dabei erhalten wir für


Die Regressionsgerade lautet nun:


Aus Octave erhalten wir die Angabe, dass die Insel bei ca. 13m völlig überflutet ist. Um nun die Jahreszahl zu ermitteln, wann dies der Fall sein wird, setzen wir die 13m in die Regressionsgerade ein. Dabei ist zu beachten, dass man nicht mit 13m rechnet, sondern mit 13000mm.

Im Jahre 8095 hat der Meeresspiegel eine Höhe von 13m,wenn der Meeresspiegel weiterhin so ansteigt. Im Jahre 8095 werden keine Malediven mehr sichtbar sein.

Um herauszufinden, wie stark der Zusammenhang zwischen x und y ist, berechnen wir den Korrelationskoeffizient . Dabei gilt:

Ist so lässt sich der Wert von y gut mit dem Wert von x darstellen
Ist so kann man kaum etwas über den Zusammenhang der Werte sagen
Ist so sind die Werte positiv korreliert
Ist so sind die Werte negativ korreliert

Also lässt sich ein Zusammenhang der Variablen feststellen, dies beweist keine Kausalität!

Modellierungsalternativen[Bearbeiten]

Zu beachten ist, dass wir in unserem Modell nicht berücksichtigt haben, dass sich die Ozeane jährlich erwärmen, sich das Wasser ausdehnt und der Meeresspiegel dabei schneller steigen könnte. Ebenso haben wir die geographische Beschaffenheit um die Insel nicht betrachtet, den z.B auch das Korallenriff hält das Wasser zurück und kann so den Anstieg verlangsamen. Umweltkatastrophen, die für einen Anstieg sorgen können, haben wir nicht in Betracht gezogen. Diese Faktoren könnte man in einem erweiterten Modell miteinbeziehen, um genauere Werte des Untergangs zu bekommen.

Fazit[Bearbeiten]

Die Insel Villingili (Addu-Atoll) wird im Jahr 8093 untergehen. Diese Jahreszahl ist ziemlich hoch und kommt so zustande, dass wir durch die Auswertung der Satellitenbilder eine Höhe der Insel von 13m angenommen haben. In der Literatur jedoch ist für die höchste Erhebung der Wert 5,1m zu finden. Da wir unser 3D-Modell auf die Satellitenbilder gestützt haben, haben wir uns entschlossen, mit den 13m zu rechnen anstatt mit den 5,1m.

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]