Windschiefe Geraden/Abstand/Determinante und Kreuzprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von Beispiel aus und betrachten

P - Q = a v + b w + c u .

Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt (5) und da $u$ ein lineares Vielfaches von $v \times w$ ist

\begin{matrix} c & = \frac{det (\begin{matrix} v_{1} & w_{1} & P_{1} - Q_{1} \\ v_{2} & w_{2} & P_{2} - Q_{2} \\ v_{3} & w_{3} & P_{3} - Q_{3} \end{matrix})}{det (\begin{matrix} v_{1} & w_{1} & u_{1} \\ v_{2} & w_{2} & u_{2} \\ v_{3} & w_{3} & u_{3} \end{matrix})} \\ = \frac{⟨ v \times w, P - Q ⟩}{⟨ v \times w, u ⟩} \\ = \frac{⟨ u, P - Q ⟩}{⟨ u, u ⟩} \\ = ⟨ u, P - Q ⟩ . \end{matrix}