Windschiefe Geraden/Abstand/Determinante und Kreuzprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von Beispiel aus und betrachten

{}P-Q=av+bw+cu\,,

Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt (5) und da ${}u$ ein lineares Vielfaches von ${}v\times w$ ist

{}{\begin{aligned}c&={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&P_{1}-Q_{1}\\v_{2}&w_{2}&P_{2}-Q_{2}\\v_{3}&w_{3}&P_{3}-Q_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&u_{1}\\v_{2}&w_{2}&u_{2}\\v_{3}&w_{3}&u_{3}\end{pmatrix}}}}\\&={\frac {\left\langle v\times w,P-Q\right\rangle }{\left\langle v\times w,u\right\rangle }}\\&={\frac {\left\langle u,P-Q\right\rangle }{\left\langle u,u\right\rangle }}\\&=\left\langle u,P-Q\right\rangle .\end{aligned}}