X^2+Y^2+Z^k/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Sei

${}F=X^{2}+Y^{2}+Z^{k}\,.$

Die transponierte Jacobi-Taylor-Matrix ist

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&kZ^{k-1}&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&kZ^{k-1}&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&kZ^{k-1}&2Y\\C^{2}&{\frac {k(k-1)}{2}}Z^{k-2}&0&0&kZ^{k-1}\end{pmatrix}}$

Ein Linkskernelement ist

$(0,0,0,2,-k^{2}Z^{k-1},0,2kX,-k^{2}Z^{k-1},2kY,4Z).$

In der hintersten Spalte kommt das ${}4k$-Vielfache von ${}F$ raus, sonst direkt ${}0$.

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&D\\1&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0\\C&kZ^{k-1}&0&0&0&0\\D&2W&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0\\AC&0&kZ^{k-1}&0&2X&0\\AD&0&2W&0&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0&0\\BC&0&0&kZ^{k-1}&2Y&0\\BD&0&0&2W&0&2Y\\C^{2}&{\frac {k(k-1)}{2}}Z^{k-2}&0&0&kZ^{k-1}&0\\CD&0&0&0&2W&kZ^{k-1}\\D^{2}&1&0&0&0&2W\end{pmatrix}}$

Ein Linkskernelement ist

$(0,0,0,k+2,0,-k^{2}Z^{k-1},0,2kX,0,-k^{2}Z^{k-1},2kY,0,4Z,2kW,-k^{2}Z^{k-1}).$

Der zugehörige Differentialoperator der Ordnung ${}2$, homogen vom Grad ${}-2$, ist

$(k+2)\partial _{Z}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{X}\partial _{X}+2kX\partial _{X}\partial _{Z}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{Y}\partial _{Y}+2kY\partial _{Y}\partial _{Z}+2Z\partial _{Z}\partial _{Z}+2kW\partial _{Z}\partial _{W}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{W}\partial _{W}.$