Z mit 2i/2 und 2i/Kein Hauptideal/Aufgabe/Lösung

Im umfassenden Ring $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ ist

$(2,2\mathrm{i})=(2)=(2\mathrm{i})$

ein Hauptideal. All seine Elemente gehören bereits zu $R$, es besteht ja aus allen Elementen, wo beide Komponenten gerade sind. Wenn das Ideal in $R$ ein Hauptideal wäre, so käme als Erzeuger nur ein Erzeuger des Ideals in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ in Frage, also $2$ oder ein dazu assoziiertes Element. In $R$ ist aber $2\mathrm{i}$ kein Vielfaches von $2$, da das Element $\mathrm{i}$ in $R$ fehlt.

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