Z mit 2i/2 und 2i/Kein Hauptideal/Aufgabe/Lösung

Im umfassenden Ring ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist

${}{\left(2,2{\mathrm {i} }\right)}=(2)=(2{\mathrm {i} })\,$

ein Hauptideal. All seine Elemente gehören bereits zu ${}R$, es besteht ja aus allen Elementen, wo beide Komponenten gerade sind. Wenn das Ideal in ${}R$ ein Hauptideal wäre, so käme als Erzeuger nur ein Erzeuger des Ideals in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ in Frage, also ${}2$ oder ein dazu assoziiertes Element. In ${}R$ ist aber ${}2{\mathrm {i} }$ kein Vielfaches von ${}2$, da das Element ${}{\mathrm {i} }$ in ${}R$ fehlt.

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