Z mod 180/Produktzerlegung/77/Ordnung/Aufgabe/Lösung

a) Wegen

${}180=4\cdot 9\cdot 5\,$

ist

${}\mathbb {Z} /(180)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$

b) Die Anzahl der Einheiten in den einzelnen Gruppen sind der Reihe nach ${}2,6,4$, daher gibt es insgesamt ${}48$ Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

c) Das zu ${}77$ gehörige Restetupel ist ${}\left(1,\,5,\,2\right)$. Da diese Reste jeweils Einheiten sind, ist ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

d) Wir berechnen die Ordnungen in den einzelnen Komponenten. ${}1$ hat die Ordnung ${}1$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }$. In ${}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist  ${}5\cdot 5=7$, 

${}5^{3}=7\cdot 5=8\neq 1\,.$

Deshalb muss die Ordnung nach Fakt gleich ${}6$ sein. In ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ ist  ${}2\cdot 2=4\neq 1$, 

daher ist die Ordnung gleich ${}4$. Die multiplikative Ordnung von ${}77$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Einzelordnungen, also gleich ${}12$.

Zur gelösten Aufgabe