Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Differente/Beispiel

Es sei

${}q=\pm 1\mod 9\,$

eine Primzahl und  ${}R=\mathbb {Z} [x,y]\subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$  der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Im Modul der Kähler-Differentiale gilt  ${}3x^{2}dx=0$  und

${}{\left(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)}dy=0\,.$

Lokal wird der Kählermodul (wie die Algebra ${}R$) durch ein Element erzeugt, lokalisiert an  ${}{\mathfrak {r}}=(q,x)=(x)$  haben wir die Beschreibung

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(x^{2})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {r}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {r}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und die lokale Differente ist ${}(x^{2})$ mit der Norm ${}q^{2}$. Oberhalb von ${}(3)$ haben wir mit dem multiplikativen System ${}T=\mathbb {Z} \setminus \{3\}$ aufgefasst in ${}R$ die exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R_{T}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{T}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

bzw. mit  ${}{\mathfrak {m}}=(3,y)$ 

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

hier ist ${}y$ eine Ortstransformierende, deshalb ist die Ordnung hier ${}1$ und die Norm ist ${}3$, und  ${}{\mathfrak {n}}=(3,y-1)$ 

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Modulo ${}{\mathfrak {n}}$ geht der Erzeuger links auf ${}1$, d.h. links steht das Einheitsideal.

Insgesamt ist also die Diskriminante gleich ${}3q^{2}$.

${}(3x^{2},)=\,$

ist

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=dx,dy\,$

und das Differentenideal (im Sinne von Annullator des Kählermoduls) ist ${}{\left(\right)}$.