Zahlbereich/Ideal/Produkt und Durchschnitt/Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Zahlbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

{}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.

Zeige, dass

{}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\cong {\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,

gilt.