Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt/Beweis3

Beweis

Nach Korollar ist $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$, und zwar sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis. Sei ${\mathfrak {a}}$ ein von null verschiedenes Ideal. Dann gibt es nach Lemma ein Element $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, $m\neq 0$. Ein Element $x$ in $R/{\mathfrak {a}}$ wird repräsentiert durch $a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}$ mit $a_{i}\in \mathbb {Z}$. Wegen $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ ist auch $mb_{i}\in {\mathfrak {a}}$ und daher kann man $x$ auch repräsentieren mit $a_{i}$ zwischen $0$ und $m-1$, so dass also der Restklassenring maximal $m^{n}$ Elemente besitzt.

Zur bewiesenen Aussage