Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Beweis

Nach Fakt gibt es ein ${}m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, ${}m\neq 0$. Damit ist ${}mR\subseteq {\mathfrak {a}}$ und damit hat man eine surjektive Abbildung

$R/(m)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$

Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit ${}m^{n}$ Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.

$\Box$