Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt

Sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann erfüllt die Zuordnung (für von ${}0$ verschiedene Ideale)

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {p}})=1\cdot {\mathfrak {p}}\,$

   für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$.

2. ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})+\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})\,.$

3. Für ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$.

4. ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=\operatorname {min} \{\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}),\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})\}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen