Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche ist

$R/𝔞=R/{𝔭}_1^{r_1}\times \cdots \times R/{𝔭}_k^{r_k}$

und somit ist

$N(𝔞)=N({𝔭}_1^{r_1})\cdots N({𝔭}_k^{r_k}).$

Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${𝔭}^r$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über $r$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen  ${𝔭}^{r+1}\subseteq {𝔭}^r$  eine kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝔭}^r/{𝔭}^{r+1}\stackrel{}{⟶}R/{𝔭}^{r+1}\stackrel{}{⟶}R/{𝔭}^r\stackrel{}{⟶}0$

vor. Dabei ist

${𝔭}^r/{𝔭}^{r+1}={𝔭}^r{R}_{𝔭}/{𝔭}^{r+1}{R}_{𝔭}=R_{𝔭}/𝔭R_{𝔭}=R/𝔭.$

Deshalb ist

$\begin{array}{cc}N({𝔭}^{r+1})& =\mathrm{\#}(R/{𝔭}^{r+1})\\ & =\mathrm{\#}({𝔭}^r/{𝔭}^{r+1})\cdot \mathrm{\#}(R/{𝔭}^r)\\ & =\mathrm{\#}(R/𝔭)\cdot \mathrm{\#}(R/{𝔭}^r)\\ & =N(𝔭)\cdot N(𝔭{)}^r\\ & =N(𝔭{)}^{r+1}.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe