Zahlbereich/Idealstruktur/Einführung/Textabschnitt

In ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist

${}(a+b{\mathrm {i} })={\left\{m(a+b{\mathrm {i} })+n{\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$

(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden.

Lemma

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann enthält ${}{\mathfrak {a}}$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ sind.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$. Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ enthält nach Fakt ein Element  ${}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$.  Nach (dem Beweis von) Fakt kann man  ${}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$  mit  ${}r_{i}\in R$  und  ${}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$  schreiben. Dann sind die  ${}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$  und sie bilden ebenfalls eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

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Satz

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$  Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,.$

Beweis

Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus ${}R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  ein beliebiges Element. Wir müssen zeigen, dass sich ${}f$ als eine ${}\mathbb {Z}$-Linearkombination  ${}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$  mit  ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$  schreiben lässt, wenn die  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$  eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$

mit rationalen Zahlen  ${}q_{i}\in \mathbb {Q}$.  Es sei angenommen, dass ein ${}q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir  ${}i=1$  annehmen dürfen. Wir schreiben dann  ${}q_{1}=k+\delta$  mit  ${}k\in \mathbb {Z}$  und einer rationalen Zahl ${}\delta$ (echt) zwischen ${}0$ und ${}1$. Dann ist auch

$c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$

eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, die in ${}{\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$

Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$

Wegen  ${}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$  und da die Diskriminanten nach Fakt nicht ${}0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

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Korollar

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$  mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Nach Fakt gibt es überhaupt Elemente  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$,  die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Fakt, dass sie ein ${}\mathbb {Z}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über ${}\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

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Korollar

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$  mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=R$. 

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Ein solches System von Erzeugern ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nennt man auch eine Ganzheitsbasis von ${}R$.

Korollar

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei  ${}m\in \mathbb {Z}$. 

Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

${}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.$

Für eine Primzahl  ${}m=p$  ist ${}R/(p)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit  ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$. 

Beweis

Nach Fakt ist  ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$  (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von ${}m$ in ${}R$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${}\mathbb {Z}$-Linearkombinationen der ${}ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{n}$. Die Restklassengruppe ${}R/(m)$ ist demnach gleich ${}(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt ${}m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe  ${}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$  und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),$

sodass ${}R/(m)$ eine von ${}0$ verschiedene ${}\mathbb {Z} /(m)$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${}p$ ist ${}R/(p)$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension ${}n$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$ mit  ${}p\in {\mathfrak {m}}$.  Daher ist  ${}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$,  und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${}(p)$.

$\Box$