Zahlbereich/Regulator/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Dann nennt man den Betrag der Determinante der reellen ${}(r+s-1)\times (r+s-1)$-Matrix

${\begin{pmatrix}L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}},$

wobei ${}L=(L_{1},\ldots ,L_{r+s})$ die logarithmische Gesamtabbildung bezeichnet, den Regulator von ${}R$. Er wird mit ${}\operatorname {Reg} (R)$ bezeichnet.

Man beachte, dass in der Definition des Regulators nur ${}r+s-1$ Komponenten der (logarithmischen) Gesamtabbildung verwendet werden. Das Bild der Einheiten liegt ja in einer Hyperebene des ${}\mathbb {R} ^{r+s}$, ist also dort nicht volldimensional. Wir werden gleich sehen, dass es zur Berechnung egal ist, welche Komponente man weglässt. Wenn ${}r+s=1$ ist (wie bei ${}\mathbb {Z}$ oder einem imaginär-quadratischen Zahlbereich), so ist die Definition als ${}1$ zu interpretieren (Determinante der leeren Matrix).

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten von ${}R$. Es sei ${}\Lambda$ das von ${}L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ im Untervektorraum ${}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ erzeugte Gitter.

Dann besteht zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ von ${}\Lambda$ der Zusammenhang

${}{\sqrt {r+s}}\cdot \operatorname {Reg} (R)=\operatorname {vol} {\left({\mathfrak {M}}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Dies zeigt insbesondere, dass es bei der Definition des Regulators auf die Reihenfolge der Einbettungen nicht ankommt und man eine beliebige Komponente weglassen kann.

Bemerkung  

Es sei ${}D\geq 2$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${}A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Einbettung und sei ${}u$ eine Fundamentaleinheit von ${}R$. Dann ist der Regulator von ${}A_{D}$ gleich

${}\operatorname {Reg} (A_{D})=\vert {\ln \vert {u}\vert }\vert \,.$

An dieser Definition sieht man direkt, dass wenn man ${}u$ durch eine der anderen Fundamentaleinheiten ${}-u,u^{-1},-u^{-1}$ ersetzt, dies zum gleichen Ergebnis führt: Das Vorzeichen wird durch den inneren Betrag und die Inversenbildung durch den äußeren Betrag aufgefangen. Auch von der gewählten Einbettung hängt es nicht ab, da ja die andere Einbettung aus der gegebenen Einbettung durch einen Automorphismus hervorgeht und dabei ${}u$ auf eines der drei Elemente abgebildet wird.