Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Funktion

$\mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

nennt man zahlentheoretische Funktion.

Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig.

Definition

Eine zahlentheoretische Funktion

$f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

gilt.

An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die eulersche ${}\varphi$-Funktion, die Teileranzahlfunktion und oben die Teilersummenfunktion kennengelernt.

Definition

Zu zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt die durch

${}(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$

definierte Funktion die Faltung von ${}f$ und ${}g$.

Diese Summe kann man auch in der Form

$\sum _{n=de}f(d)g(e)$

schreiben. Summiert wird nur über die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise übersehen werden könnte.

Lemma

Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$

ist auch die Faltung ${}f*g$ multiplikativ.

Beweis

Es seien ${}f,g$ multiplikativ und es seien ${}m,n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung

${}de=mn\,$

gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung ${}d=ru$ und ${}e=sv$ mit ${}r,u$ und ${}s,v$ teilerfremd und mit ${}rs=m$ und ${}uv=n$. Daher ist

${}{\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}$

also ist auch ${}f*g$ multiplikativ.

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Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die für ${}1$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ besitzt, wird mit ${}I$ bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit.

Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die überall den Wert ${}1$ besitzt, wird mit ${}U$ bezeichnet.

Definition

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die durch

${}\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,$

gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.

Lemma

Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
2. Die Faltungseinheit ${}I$ ist das neutrale Element der Verküpfung.
3. Es ist

   ${}U*\mu =I\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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