Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine Funktion

nennt man zahlentheoretische Funktion.

Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig.


Definition  

Eine zahlentheoretische Funktion

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen stets

gilt.

An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die eulersche -Funktion, die Teileranzahlfunktion und oben die Teilersummenfunktion kennengelernt.


Definition  

Zu zahlentheoretischen Funktionen heißt die durch

definierte Funktion die Faltung von und .

Diese Summe kann man auch in der Form

schreiben. Summiert wird nur über die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise übersehen werden könnte.



Lemma  

Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen

ist auch die Faltung multiplikativ.

Beweis  

Es seien multiplikativ und es seien teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung

gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung und mit und teilerfremd und mit und . Daher ist

also ist auch multiplikativ.



Definition  

Die zahlentheoretische Funktion , die für den Wert und sonst überall den Wert besitzt, wird mit bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit.


Definition  

Die zahlentheoretische Funktion , die überall den Wert besitzt, wird mit bezeichnet.


Definition  

Die zahlentheoretische Funktion , die durch

gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.



Lemma

Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.

  1. Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
  2. Die Faltungseinheit ist das neutrale Element der Verküpfung.
  3. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe.