Zahlentheorie/Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir starten mit einem Ideal und vergleichen und . Sei zunächst . Es ist dann für jedes Primideal , so dass natürlich gilt. Also ist . Ist hingegen , so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal mit . Da ein diskreter Bewertungsring ist, gilt . Also ist und somit . Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt  (2), was auch den Zusatz ergibt.

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