Zahlentheorie/Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Implikation „“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Fakt  (3), dass ist. Somit ist mit einem effektiven Divisor . Nach Fakt übersetzt sich dies zurück zu , so dass mit die rechte Seite erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage