Zahlentheorie/Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Für jedes Element gilt auch und daher ist . Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring ein Element , das das maximale Ideal erzeugt und die Ordnung eins hat. Man kann mit und schreiben. Dabei ist und hat in die Ordnung . Sei nun ein weiteres Primideal . Da beide maximal sind gibt es ein Element , . Dieses hat dann in die Ordnung .
  2. Fixiere ein Primideal . Sei und schreibe mit und . Dann ist nach Fakt

    Für die Umkehrung schreiben wir und . Zu fixiertem gibt es ein und ein mit und . Dann ist und

  3. Das ist trivial.
  4. Die Abschätzung „“ folgt aus . Die Abschätzung „“ folgt aus Teil (3).
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