Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei durch eine -Basis wie im Fakt gegeben. Das konjugierte Ideal hat die Basis und . Das Produktideal hat die vier Erzeuger

Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von erzeugten Ideal ist, was ja nach Fakt die Norm von ist. Zunächst teilt sowohl als auch : Wegen hat man nämlich eine Darstellung

mit . Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits und andererseits , woraus nach Kürzen mit sich

ergibt. Insbesondere ist

Mit dem Ideal können wir wegen

und wegen annehmen, dass ist.

In dieser neuen Situation müssen wir zeigen. Aufgrund von haben wir die Inklusion . Wir betrachten die Inklusionskette (in )

Es sei der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zunächst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Dafür betrachten wir die Norm und die Spur von und erhalten

und

Damit gehören die Norm und die Spur zu und damit ist nach Fakt das Element selbst ganz und somit ist ein Vielfaches von . Wir wissen also

und damit ist . Also wird von geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage