Zahlkörper/Bewertungen/Kurzübersicht/Textabschnitt
Definition
Es sei ein Körper. Eine Funktion
heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist
- Es ist
Beispielsweise ist der übliche Betrag auf den rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen ein Absolutbetrag in diesem Sinne.
Beispiel
Es sei ein Zahlkörper und sei eine reelle oder komplexe Einbettung. Dann induziert der gewöhnliche Betrag einen Betrag auf .
Zu einer komplexen Einbettung definiert dabei die konjugiert-komplexe Einbettung den gleichen Betrag auf .
Mit der Festlegung
wird ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum, siehe Aufgabe.
Zu einem Primideal in einem Zahlbereich zu einer endlichen Körpererweiterung ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring und die zugehörige Ordnung
besitzt die Eigenschaften
- .
- .
Häufig setzt man
Lemma
Es sei ein Zahlbereich, ein maximales Ideal und die zugehörige Bewertung auf .
Dann ist zu einer reellen Zahl durch
ein Betrag auf gegeben (hierbei ist als zu interpretieren).
Beweis
Ein Betrag ist genau dann nichtarchimedisch, wenn die Dreiecksabschäzung in der verschärften Form
gilt, siehe Aufgabe. In Fakt wurde mitbewiesen, dass die Beträge, die von einer Bewertung herrühren, nichtarchimedisch sind.
Bemerkung
Die gewählte Basis in Fakt spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles (bezüglich von endlichen Körpererweiterungen) Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von Fakt übernehmen und wobei die Norm von bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper .
-
Dies ist wohl der natürlichste Betrag.
wobei den Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von über bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf den nichtarchimedischen Standardbetrag
ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit in , , , ist ja und und somit
Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang
wobei wir eben
setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten lokalen Grad überein.
- Der absolute Betrag ist
Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal aus in mehrere Primideale liegen, die jeweils zu Beträgen in Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag auf mehrere Beträge verteilt. Nach Fakt gilt dabei
Somit ist, wieder mit wie oben,
Definition
Unter versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag
und aus den Beträgen zu jeder Primzahl , die durch
gegeben sind.
Definition
Es sei ein Zahlkörper. Mit bezeichnet man die Menge der Beträge auf , deren Einschränkung auf mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.
Man spricht von den Standardbeträgen auf . Die hat unter jedem Standardbetrag den Wert . Das gleiche gilt für jede Einheit aus dem Ring der ganzen Zahlen zu .
Definition
Zu einer endlichen Körpererweiterung und einem Betrag nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen den lokalen Grad in .
Zu schreibt man auch
wobei den lokalen Grad bezeichnet. Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal (aus dem Zahlbereich zu ) über ist das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung
und dem Verzweigungsindex von
Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad im reellen und im komplexen Fall.