Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt

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Verfahren  

Beim schriftlichen Subtrahieren zweier natürlicher Zahlen mit

die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern des Ergebnisses und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive durch

und

Die Dezimaldarstellung der Differenz ist .



Satz  

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

Beweis  

Es sei

und

Wir behaupten, dass für jedes der Ausdruck

konstant gleich ist. Für

fehlen die -, die - und die -Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von nach , was dem -ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

ist , und somit

Im Fall

ist , und somit

Für sind die - und die -Ausdrücke vollständig abgebaut () und es bleiben die vollständigen - und -Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

ist und somit ist gleich der Differenz .