Zirkel und Lineal/Reell/Summe/Produkt/Division/Fakt/Beweis

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Beweis

  (1) Wir verwenden eine zu senkrechte Gerade durch und darauf einen Punkt . Dazu nehmen wir die zu senkrechte Gerade durch , die also parallel zu ist. Wir zeichnen die Gerade , die parallel zu ist und durch verläuft. Der Schnittpunkt von und markieren wir als , so dass der Abstand von zu gleich ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade durch und und dazu die parallele Gerade durch . Der Schnittpunkt von mit ist , da ein Parallelogramm bilden.
  Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu senkrechte Gerade . Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ,  und und markieren die entsprechenden Punkte auf als ,  und . Dabei wählt man als einen der beiden Schnittpunkte und und müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade durch und und dazu die parallele Gerade durch . Diese Gerade schneidet in genau einem Punkt . Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis

Also ist .
Um den Quotienten bei zu erhalten, zeichnet man die Gerade durch und und dazu parallel die Gerade durch . Der Schnittpunkt von mit sei . Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung