Zwei Kreise/Durchschnitt/Restklassenring/Gerade/Aufgabe/Lösung

a) Eine Kreisgleichung hat die Form

${}(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}-c=0\,,$

also ist nach Ausmultiplizieren

${}F=X^{2}+Y^{2}+rX+sY+t\,$

und entsprechend

${}G=X^{2}+Y^{2}+{\tilde {r}}X+{\tilde {s}}Y+{\tilde {t}}\,.$

Daher ist

${}H=F-G={\left(r-{\tilde {r}}\right)}X+{\left(s-{\tilde {s}}\right)}Y+{\left(t-{\tilde {t}}\right)}\,.$

Da die Kreise verschieden sind, ist dies ein Polynom vom Grad ${}1$ oder ${}0$. Dabei gilt

${}(F,G)=(F,H)\,$

und damit sind auch die Restklassenringe isomorph.

b) Wir gehen aus von der Beschreibung aus (a), also

${}R=K[X,Y]/(F,H)\,.$

Bei ${}H$ konstant ist dies der Nullring. Andernfalls ist ${}H$ linear und dann kann man nach einer Variablen auflösen, sagen wir

${}Y=\alpha X+\beta \,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}K[X,Y]/(F,H)&=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}+rX+sY+t,Y-\alpha X-\beta \right)}\\&=K[X]/{\left(X^{2}+{\left(\alpha X+\beta \right)}^{2}+rX+s{\left(\alpha X+\beta \right)}+t\right)}\\&=K[X]/{\left(uX^{2}+vX+w\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe