Zwei Polynome in einer Variablen/Graph/Restklassenring/Aufgabe/Lösung

$K[X,Y]/(Y-F,Y-G)\cong K[X]/(F-G)$

Wir betrachten den $K$-Algebrahomomorphismus

$\phi :K[X,Y]⟶K[X]/(F-G),$

der $X\mapsto X$ und $Y\mapsto F$ abbildet. Dabei gilt

$\phi (Y-F)=F-F=0$

und

$\phi (Y-G)=F-G=0.$

Nach dem Homomorphiesatz für Ringe ergibt sich daher ein $K$-Algebrahomomorphismus

$\bar{\phi }:K[X,Y]/(Y-F,Y-G)⟶K[X]/(F-G).$

Wir betrachten nun den $K$-Algebrahomomorphismus

$\psi :K[X]⟶K[X,Y]/(Y-F,Y-G)$

mit $X\mapsto X$. Dabei ist

$\psi (F-G)=F-G=Y-G-(Y-F)=0.$

Daher induziert dies einen $K$-Algebrahomomorphismus

$\bar{\psi }:K[X]/(F-G)⟶K[X,Y]/(Y-F,Y-G).$

Die beiden Verknüpfungen $\bar{\psi }\circ \bar{\phi }$ und $\bar{\phi }\circ \bar{\psi }$ sind jeweils die Identität.

Zur gelösten Aufgabe