Zwei Polynome in einer Variablen/Graph/Restklassenring/Aufgabe/Lösung

${}K[X,Y]/(Y-F,Y-G)\cong K[X]/(F-G)\,$

Wir betrachten den ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon K[X,Y]\longrightarrow K[X]/(F-G),$

der ${}X\mapsto X$ und ${}Y\mapsto F$ abbildet. Dabei gilt

${}\varphi (Y-F)=F-F=0\,$

und

${}\varphi (Y-G)=F-G=0\,.$

Nach dem dem Homomorphiesatz für Ringe ergibt sich daher ein ${}K$-Algebrahomomorphismus

${\overline {\varphi }}\colon K[X,Y]/(Y-F,Y-G)\longrightarrow K[X]/(F-G).$

Wir betrachten nun den ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K[X,Y]/(Y-F,Y-G)$

mit ${}X\mapsto X$. Dabei ist

${}\psi (F-G)=F-G=Y-G-(Y-F)=0\,.$

Daher induziert dies einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

${\overline {\psi }}\colon K[X]/(F-G)\longrightarrow K[X,Y]/(Y-F,Y-G).$

Die beiden Verknüpfungen ${}{\overline {\psi }}\circ {\overline {\varphi }}$ und ${}{\overline {\varphi }}\circ {\overline {\psi }}$ sind jeweils die Identität.

Zur gelösten Aufgabe