Zweites Dachprodukt/(x,y,z) nach (xyz^2,xy-z^3)/(1,3,5)/Aufgabe/Lösung

Die Jacobimatrix von ${}\varphi$ ist allgemein

${\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.$

Für den Punkt ${}P=(1,3,5)$ liegt daher die Jacobimatrix

${\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}$

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

$L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

$\bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Basen ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}$ , ${}e_{2}\wedge e_{3}$ (links) und ${}e_{1}\wedge e_{2}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}$

Die beschreibende Matrix ist also

$\left(0,-5715,-1905\right).$

Zur gelösten Aufgabe