Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/4/Aufgabe/Lösung

Es sei

{}\alpha ={\frac {2\pi }{m}}\,

und

{}\beta ={\frac {2\pi }{n}}\,.

Dann ist

{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,

eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${}m$ von ${}\operatorname {SO} _{2}$ und ebenso

{\begin{pmatrix}\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},\ell =0,\ldots ,n-1,

eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${}n$ von ${}\operatorname {SO} _{2}$ . Daher ist insgesamt

{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha &0&0\\\sin k\alpha &\cos k\alpha &0&0\\0&0&\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\0&0&\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,\ell =0,\ldots ,n-1,

eine Realisierung von

{}\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)

als Untergruppe von

{}\operatorname {SO} _{4}

.