Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/4/Aufgabe/Lösung

Es sei

$\alpha =\frac{2\pi }{m}$

und

$\beta =\frac{2\pi }{n}.$

Dann ist

$\left(\begin{array}{cc}\cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha \end{array}\right),k=0,\dots ,m-1,$

eine zyklische Untergruppe der Ordnung $m$ von ${\mathrm{SO}}_2$ und ebenso

$\left(\begin{array}{cc}\cos \ell \beta & -\sin \ell \beta \\ \sin \ell \beta & \cos \ell \beta \end{array}\right),\ell =0,\dots ,n-1,$

eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ von ${\mathrm{SO}}_2$. Daher ist insgesamt

$\left(\begin{array}{cccc}\cos k\alpha & -\sin k\alpha & 0& 0\\ \sin k\alpha & \cos k\alpha & 0& 0\\ 0& 0& \cos \ell \beta & -\sin \ell \beta \\ 0& 0& \sin \ell \beta & \cos \ell \beta \end{array}\right),k=0,\dots ,m-1,\ell =0,\dots ,n-1,$

eine Realisierung von $\mathbb{Z}/(m)\times \mathbb{Z}/(n)$ als Untergruppe von ${\mathrm{SO}}_4$.

Zur gelösten Aufgabe