- Übungsaufgaben
Es sei
ein
kompaktes Intervall
und
-
Wir setzen
-
Berechne
auf zwei unterschiedliche Weisen.
Bestätige
Satz 58.3
für die Funktion
-
Es sei
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99022cfa2f4e60f9269d5d58d80890041e6d549f)
Berechne die Integrale zum Parameter
über
und zum Parameter
über
. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.
Betrachte zu
mit
und
die „sichelförmige“ Menge
-
Für welche
ist diese Menge
sternförmig?
Man gebe ein Beispiel für eine
sternförmige
Teilmenge
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine
offene,
sternförmige
Teilmenge
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Man gebe ein Beispiel für zwei
sternförmige Mengen
mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt
zusammenhängend
(insbesondere nicht leer)
und nicht sternförmig ist.
Skizziere den Graphen einer Funktion
-
mit der Eigenschaft, dass der Subgraph
nicht
konvex,
aber
sternförmig
ist.
Wir betrachten den
Subgraphen
zur positiven Standardparabel, also
-
![{\displaystyle {}S={\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,0\leq y\leq x^{2}\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c21fc1cf73ed5c45326c2c1741ba951244642a)
Zeige, dass
nicht
sternförmig
ist.
Es sei
-
eine
wachsende Funktion.
Zeige, dass der
Subgraph
-
![{\displaystyle {}S={\left\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc983f686d8bda21b030ce527c3e4209bbafb1e4)
sternförmig
ist.
Überprüfe, ob das
Vektorfeld
-
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt oder nicht.
Überprüfe, ob das
Vektorfeld
-
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt oder nicht.
Zeige, dass das
Vektorfeld
-
ein
Gradientenfeld ist und bestimme ein
Potential
dazu.
Ob ein Vektorfeld auf
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem
partiell differenzierbaren
Vektorfeld
-
auf einer
offenen Teilmenge
nennt man
-
![{\displaystyle {}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ffc704bbb8329db32afc8d396285e918247e92)
die
Rotation
von
.
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
Berechne zum
Vektorfeld
-
die
Rotation.
Wir betrachten das Vektorfeld
-
mit
-
![{\displaystyle {}G(x,y)=(y,-x^{3})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b92f1c34a626f01c67ccbb79f759d8151be49c8)
Zeige auf zweifache Weise, dass
kein Gradientenfeld ist.
- Mit der Integrabilitätsbedingung.
- Mit Wegintegralen.
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass
ein
Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein
Potential
zu
.
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass
ein
Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein
Potential
zu
.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme, ob zur Funktion
-
der
Subgraph
und ob der
Epigraph sternförmig
ist.
Es sei
eine
sternförmige
Teilmenge. Zeige, dass auch der
Abschluss
sternförmig ist.
Zeige, dass das
Vektorfeld
-
ein
Gradientenfeld ist und bestimme ein
Potential
dazu.
Berechne zum
Vektorfeld
-
die
Rotation.