Lösung
- Der Produkt-Präring ist der von allen
Quadern
-
erzeugte Präring
in
.
- Das Borel-Lebesgue-Maß auf
ist das
(eindeutig bestimmte)
Maß
auf
, das für jeden
Quader
der Form
den Wert
besitzt.
- Der Kegel zur Basis
mit der Spitze
ist definiert durch
-
![{\displaystyle {}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20821b5a78244db3ad4cb7ff16d21910ee77202f)
- Der Punkt
heißt regulär für
, wenn die
Tangentialabbildung
-
im Punkt
maximalen Rang
besitzt.
- Es seien
-
und
-
orientierte Karten von
. Der zugehörige
Kartenwechsel
-
heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
das
totale Differential
-
orientierungstreu
ist.
- Die Form
besitzt auf
eine Darstellung
-
mit
stetig differenzierbaren Funktionen
-
Dann ist die äußere Ableitung die
-Form
-
![{\displaystyle {}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02312595351dde65651e09292d5154cbb7288e8a)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beschreibung des Produkt-Präringes.
- Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
- Der Satz über die Partition der Eins.
Lösung
- Es seien
Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann besteht der
Produkt-Präring
aus allen endlichen
disjunkten Vereinigungen
von
Quadern.
- Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
offene Teilmenge
mit einer Karte
-
und
offen. Es seien
-
die zugehörigen Koordinatenfunktionen,
. Dann lässt sich jede auf
definierte
-Differentialform
eindeutig schreiben als
-
![{\displaystyle {}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed253150e81e612f1c0b05ba001a359f9ac89891)
mit eindeutig bestimmten Funktionen
-
- Es sei
eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis
der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete
stetig differenzierbare
Partition der Eins.
Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)
Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen
und
cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von
cm herausgestanzt werden.
a) Zeige, dass man höchstens
Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.
b) Zeige, dass man mindestens
Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.
c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?
Lösung
a) Die Fläche der Plättchen ist
(alle Flächenangaben sind in Quadratzentimetern)
-
![{\displaystyle {}\pi \cdot 0{,}25^{2}=\pi \cdot 0{,}0625\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dab8e991dd8e6f5330dfe606f2b12512e913265)
Dies liegt zwischen
-
![{\displaystyle {}3{,}14\cdot 0{,}0625=0,19625<\pi \cdot 0{,}0625<3{,}15\cdot 0{,}0625=0{,}196875\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e63460b5118cd89e312aead63a01b987fdaa74)
Da das Blatt
Quadratzentimetern Fläche besitzt, kann man aus Materialgründen maximal
-
![{\displaystyle {}600:0{,}19625=3057{,}3\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3820c0821d5caa10761f345b93518163ebf7ab09)
also allerhöchstens
Plättchen erhalten.
b) Wir ordnen auf dem Blatt die Kreise aneinanderliegend in Reihen an, wobei wir das Blatt im Hochformat nehmen. Die geraden Reihen werden um
cm nach rechts verschoben, um die Zwischenräume besser aufzufüllen. Die Reihen erhalten dann abwechselnd
bzw.
Kreise. Der vertikale Abstand der Kreismittelpunkte zwischen zwei benachbarten Reihen ist
-
Dabei ist
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {3}}\leq 1{,}8\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd03fb7b47b33e3586663e74fd5a3a634070d75)
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\sqrt {3}}{4}}\leq 0{,}45\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc21e3e50cebbd744039a64f3bdc8791ef1ada31)
Somit gibt es mindestens
-
![{\displaystyle {}30:0{,}45=66{,}666\dotso \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ae36110627674f65f98cc4c36bef55a9ea025c)
also mindestens
Reihen. Mit dieser Methode erhält man
-
![{\displaystyle {}33\cdot 40+33\cdot 39=33\cdot 79=2607\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0641aadd880e3d26b0a4fa9be359c62be4d732)
Plättchen.
c) Bei den neun Halbierungen wird die längere Seite fünfmal und die kürzere Seite viermal halbiert. Die entstehenden Längen des Bündels ergeben sich aus
-
und aus
-
Nach der in b) beschriebenen Methode
(wobei man das Bündel im Querformat nimmt)
kann man wegen
-
![{\displaystyle {}2\cdot 0{,}45=0{,}9\leq 0{,}9375\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52be584f31128fc6c0069593f7da08851031f164)
zwei Reihen mit je zwei Kreisen platzieren
(
kann man sicher nicht rausstanzen).
Insgesamt ergeben sich so
-
![{\displaystyle {}2^{9}\cdot 4=2^{11}=2048\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeed996dc10ffd7b569ce7627b2cb81b2bfe2d1)
Konfettiplättchen.
Aufgabe (9 (1+4+4) Punkte)
Es sei
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f765c31cabfd517d8623b9ce139a015b9c525e)
der obere Einheitshalbkreis und
-
die Projektion auf die
-Achse. Zu
seien
Punkte auf
gleichverteilt in dem Sinne, dass
und
dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.
a) Skizziere die Situation für
einschließlich der Bildpunkte unter
.
b) Es sei
das
Zählmaß
auf
, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert
erhält und es sei
-
![{\displaystyle {}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d248bf8a8cd85d7bc2c4199e11f2f10891d455b)
das zugehörige
Bildmaß
auf
. Man gebe eine Formel für
-
(
)
mit Hilfe des
Arkuskosinus
an.
c) Bestimme
-
Lösung
a)
b) Wir betrachten die Abbildung
-
die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von
mit
Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls
mit dem Abstand
, das wir
nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu
unter der Abbildung
-
Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\nu _{n}[t,1]&=\lambda _{n}{\left(\arccos([t,1])\right)}\\&=\lambda _{n}{\left([0,\arccos t]\right)}\\&=\left\lfloor {\frac {n\arccos t}{\pi }}\right\rfloor +1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8db12229c6157a66829a1e2af3d46644a26ed0d)
c) Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen
divergiert. Es ist zunächst
-
![{\displaystyle {}\left\lfloor {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}\right\rfloor +1\geq {\frac {n\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\arccos {\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}}{\frac {2}{n}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe81cdb3bc76717bb2aa0e082f8206d5f8804da)
Es genügt also zu zeigen, dass
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\arccos {\left(1-h\right)}}{h}}=+\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db5d35e9102eca6380db8e43b2426777a0799e)
ist. Nach
der Regel von l'Hospital
kann man stattdessen
-
![{\displaystyle {}{\frac {\frac {1}{\sqrt {1-(1-h)^{2}}}}{1}}={\frac {1}{\sqrt {2h-h^{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {h}}{\sqrt {2-h}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88992a44ad01b5464a3ba4d617d1c05d87440e33)
betrachten, und dies divergiert bestimmt gegen
.
Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem
ist, das für den Einheitswürfel den Wert
besitzt.
Lösung
Das
Borel-Lebesgue-Maß
erfüllt nach
Fakt *****
diese Bedingungen. Es sei
ein solches Maß. Nach
Fakt *****
ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der
durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von
alle das gleiche Maß besitzen, ist
-
endlich.
Wir müssen zeigen, dass
mit
übereinstimmt, wobei es aufgrund des
Eindeutigkeitssatzes
genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form
mit
rationalen
Ecken. Wegen der
Translationsinvarianz
von
besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader
. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als
mit
.
Dieser Quader setzt sich disjunkt aus
Quadern
(nämlich
mit
)
zusammen, die alle das gleiche
-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das
-Maß des Quaders
ist also das
-fache des
-Maßes des Quaders
.
Da sich der Einheitswürfel aus
verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss
und damit
-
![{\displaystyle {}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2100406ffa98669c7eb28bc0ab186bb4834b75f7)
sein.
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}Z={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae1f0f513410fc0b0261c796b366de68ef0f9fb)
und
-
![{\displaystyle {}W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4400c96c95606f8d0d5b9f060f14de1f67ee1b1b)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}T=Z\cap W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee4333c91feb84ea749a51ded50b34e9dbefafb)
Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von
zu
zwischen
und
.
Der Querschnitt ist
-
![{\displaystyle {}T(x)={\left\{(y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq {\sqrt {1-x^{2}}}\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c93109bdd039b79b2e8101cc99feef6b0e7d141)
Bei fixiertem
(neben dem fixierten
)
läuft
zwischen
und
.
Der Flächeninhalt von
ist durch
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T(x))&=2\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}dy\\&={\left(y\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}-\arccos y\right)}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\\&={\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}-\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}+\arccos {\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}\\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+\pi \\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi .\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee018850d39071eb036f0ecff6273563b415093)
Eine Stammfunktion dazu ist
-
Somit ist das Volumen von
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}2\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi dx&=2{\left(-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x\right)}_{0}^{1}\\&=2{\left(-2{\frac {\pi }{2}}+\pi +{\frac {2}{3}}+2\right)}\\&={\frac {16}{3}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c78183f6d7cc9d25b654e389f882fe30760df0)
Lösung
Wir müssen zeigen, dass das Komplement
-
![{\displaystyle {}W=X\times X\setminus \triangle ={\left\{(x,y)\mid x,y\in X,\,x\neq y\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc4e1882ce36de1ef3aac2ccf6a8a6a069011a1)
offen ist. Es sei also
ein Paar mit
.
Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen
mit
und
. Es ist
und nach Definition der Produkttopologie ist
eine offene Menge in
. Wegen der Disjunktheit folgt aus
sofort
.
Also ist
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in U\times V\subseteq W\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407c02e8805e9de7dc13e5291d9cf82bef8f9ee)
und
ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.
Aufgabe (11 (1+3+1+2+4) Punkte)
Wir betrachten die Menge
-
![{\displaystyle {}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be38e93e8a6efbcfa69dc03bbb5a66486ebb0b5)
der reellen nilpotenten
-
Matrizen
sowie die Menge
-
![{\displaystyle {}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f07dde3245b1f319aea5dffb3ffc04352354a5)
a) Ist
zusammenhängend?
b) Zeige, dass
eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
einer offenen Teilmenge
ist.
c) Bestimme die
Dimension
von
.
d) Ist
zusammenhängend?
e) Überdecke
mit expliziten topologischen Karten.
Lösung
a) Jede nilpotente Matrix
lässt sich durch den linearen Weg
-
innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist
wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.
b) Eine
-
Matrix
ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante
sind. Die Menge
der nilpotenten Matrizen kann also als
-
aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung
-
Deren Jacobi-Matrix ist
-
Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht
regulär,
aber in jedem anderen Punkt der Faser
. Wenn nämlich
ist, so folgt wegen
-
![{\displaystyle {}a^{2}=bc\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016c43b12dc03752025d4ad66e4c69cc8c19c621)
aus
-
![{\displaystyle {}b=c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42ed11284ebdbc2bb76e4f6a111c2d296474441)
sofort
-
![{\displaystyle {}a=b=c=d=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16408aaab8cf2d82e0a4aa4f5798b3acf78f115c)
Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus
den maximalen Rang. Mit
-
![{\displaystyle {}G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59093a5d2eb9b9cf8affdf024dbec7a917078ad1)
kann man
als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist
nach
Fakt *****
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
.
c) Nach
Fakt *****
ist die Dimension von
gleich
.
d) Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab66133356deabfdc076d6128569cd8cc2483e5f)
und
-
![{\displaystyle {}M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2afb3c47bdd6950ac31538cfd43f5d8d25fddd8)
beides sind
(als Durchschnitt von
mit der durch
gegebenen offenen Menge des
)
offene Mengen in
. Die Matrizen
und
zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz
. Bei
folgt nämlich wegen
-
![{\displaystyle {}0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5405b715783e1f73d8cd1ff53ed752bc78f7fb)
direkt
,
und der Punkt gehört nicht zu
. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist
nicht zusammenhängend.
e) Wir arbeiten mit der Abbildung
-
Wegen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8871969e3eb1941f1d1c78d358ec39830e2769c)
ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen
-
![{\displaystyle {}b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdd2d3bc28a5c055f45b0b173cc130dda92bc07)
gehört das Bild zu
. Die Abbildung
-
ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist
-
![{\displaystyle {}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e147249a2d74e9576e05c59d89ab807d10b40587)
klar. Die andere Identität ergibt sich aus
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5fbfbba8719ff0f20c19651b66d2865bca1641)
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37162bdb3e78d3b18b341809c4855d283a0ea64a)
Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine
Homöomorphie
vor.
Für
vertauscht man die Rollen von
und
.
Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt
mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.
Lösung
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\pi ^{*}du&=d(u\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {x^{2}+y^{2}-x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24c824738207dabe81935fbe9c50beda8c2a8d8)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\pi ^{*}dv&=d(v\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e00fe6850efb2bc747fd05effb1fecb2d10e93)
Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\pi ^{*}(-vdu+udv)&=-(v\circ \pi )\pi ^{*}du+(u\circ \pi )\pi ^{*}dv\\&=-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}\\&={\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}{\left({\left(-y^{3}-x^{2}y\right)}dx+{\left(xy^{2}+x^{3}\right)}dy\right)}\\&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\left(-ydx+xdy\right)}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b04ca4c97cd902e3dd5d4f2429c6434950f7421)
Lösung