Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 15
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring, ein graduierter Modul über und die zugehörige Modulgarbe auf dem Spektrum . Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass durch
eine Graduierung auf gegeben ist, für die die natürlichen Restriktionshomomorphismen homogen sind.
Aufgabe
Man mache sich anhand von und klar, dass es keine Graduierung auf der Nenneraufnahme gibt, die die Standardgraduierung auf dem Polynomring in sinnvoller Weise fortsetzt.
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring und ein graduierter Modul über . Zeige, dass die Zuordnung
eine Prägarbe von kommutativen Gruppen auf ist, deren Vergarbung mit übereinstimmt.
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring und ein graduierter Modul über . Zeige, dass die zugehörige - Modulgarbe auf durch
gegeben ist.
Aufgabe
Es sei ein integrer - graduierter Ring und die Nenneraufnahme zu allen homogenen Elementen vom Grad . Zeige, dass der Funktionenkörper des integren Schemas ist.
Aufgabe
Es sei ein standard-graduierter Ring und
ein -Punkt von mit dem zugehörigen homogenen Primideal , das ein abgeschlossener Punkt in ist. Zeige, dass ein quasikohärenter Modul auf (und auf ) ist, deren Träger gleich ist.
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring und . Zeige, dass nicht isomorphe graduierte - Moduln und zu isomorphen - Moduln und führen können.
Aufgabe
Es sei mit einem homogenen Ideal und sei . Zeige auf dem .
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring und sei
eine kurze exakte Sequenz von - graduierten - Moduln mit homogenen Homomorphismen. Zeige, dass in jeder Stufe eine kurze exakte Sequenz
von -Moduln vorliegt.
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring und seien - graduierte - Moduln mit homogenen Homomorphismen und . Für jedes Primideal mit sei die Sequenz
exakt. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz
auf vorliegt.
Aufgabe
Es sei ein - graduierter Ring. Zeige, dass der verschobene - Modul nur bei ein graduierter Ring ist.
Aufgabe
Man gebe eine explizite Basis für über einem Körper an und man bestimme die Dimension davon.
Aufgabe
Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung gilt.
Aufgabe
Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung gilt.
Aufgabe
Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben zu sich als Idealgarbe auf realisieren lassen. Zeige ferner, dass es hierfür im Allgemeinen mehrere Möglichkeiten gibt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer - graduierter Ring und ein - graduierter Modul über , der endlich erzeugt sei. Zeige, dass auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form
gibt.
Aufgabe
Es sei ein Schema. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Strukturgarbe wird von globalen Schnitten erzeugt.
- Ein quasikohärenter Modul wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus gibt.
- Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
- Wenn von globalen Schnitten erzeugt wird und surjektiv ist, so wird auch von globalen Schnitten erzeugt.
Aufgabe
Zeige, dass auf dem projektiven Raum über einem kommutativen Ring die getwisteten Strukturgarben bei von globalen Schnitten erzeugt werden und bei und nicht.
Aufgabe
Es sei ein Schema und ein quasikohärenter Modul auf . Zeige, dass genau dann von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine offene affine Überdeckung und Schnitte zu derart gibt, dass die Restriktionen ein - Modulerzeugendensystem von bilden.
Aufgabe
Es sei das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring . Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben zu von globalen Schnitten erzeugt werden.
<< | Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020) | >> |
---|