Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Liste der Hauptsätze

???: Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

 

???: Elementordnung in endlicher Gruppe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe.

Dann besitzt jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung.

Die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

sind alle verschieden.

 

???: Pascaldreieck

Die Binomialkoeffizienten

erfüllen die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$

 

???: Der Binomische Lehrsatz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

 

???: Kürzungsregel für Nichtnullteiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler.

Dann folgt aus einer Gleichung

${}fx=fy\,,$

dass ${}x=y$ sein muss.

 

???: Algebraische Struktur der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen

bilden einen Körper.

 

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

 

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Irreduzibilitätskriterium für kleinen Grad

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,

wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

 

???: Ideale in einem Körper

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

 

???: Primideal und maximales Ideal

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

 

???: Euklidischer Bereich ist ...

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ...

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Der Ring der ganzen Zahlen ist ...

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Euklidischer Algorithmus

Es seien zwei Elemente ${}r_{0}=a,r_{1}=b\neq 0$ eines euklidischen Bereiches ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge ${}r_{i}$, ${}i=0,1,2,\ldots$, der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}r_{i+2}=0{\text{ oder }}\delta (r_{i+2})<\delta (r_{i+1})$.
2. Es gibt ein (minimales) ${}k\geq 2$ mit ${}r_{k}=0$.
3. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} (r_{i+1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i-1})\,.$

4. Es sei ${}k\geq 2$ der erste Index derart, dass ${}r_{k}=0$ ist. Dann ist

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

 

???: Charakterisierung von faktoriellen Bereichen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

Ein Hauptidealbereich

ist ein faktorieller Ring.

 

???: Charakterisierung von faktoriellen Bereichen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

 

???: Eindeutige Primfaktorzerlegung in K[X]

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

Dann besitzt jedes Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, eine eindeutige Faktorzerlegung

${}F=\lambda P_{1}^{r_{1}}{\cdots }P_{k}^{r_{k}}\,,$

wobei ${}\lambda \in K$ ist und die ${}P_{i}$ verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.

 

???: Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

${}n=p_{1}{\cdots }p_{r}\,$

mit Primzahlen ${}p_{i}$, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.

 

???: Teilbarkeit mit p-Exponenten

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${}a,b\in R$.

Dann ist ${}a$ ein Teiler von ${}b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement die Abschätzung

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a\right)}\leq \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(b\right)}\,$

gelten.

 

???: KgV und ggT mit p-Exponenten

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente mit Primfaktorzerlegungen

${}a_{i}=u_{i}\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{i}\right)}}\,.$

Dann ist

${}\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}=\prod _{p}p^{\operatorname {max} _{}^{}{\left(\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{1}\right)},\ldots ,\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{n}\right)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}=\prod _{p}p^{\operatorname {min} _{}^{}{\left(\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{1}\right)},\ldots ,\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{n}\right)}\right)}}\,.$

 

???: Inverses unter Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes ${}g\in G$.

 

???: Homomorphismen von Z in eine Gruppe G

Es sei ${}G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1).$

 

???: Umkehrabbildung eines Isomorphismus

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

 

???: Kern eines Gruppenhomomorphismus

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}G$.

 

???: Kernkriterium für Injektivität

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

 

???: Der Satz von Lagrange

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

 

???: Satz von Lagrange (Ordnung eines Gruppenelements)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.

 

???: Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ...

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ${}\ker \varphi$ ein Normalteiler in ${}G$.

 

???: Normalteiler und Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

 

???: Der Homomorphiesatz (Gruppen)

Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Der Isomorphiesatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

 

???: Der Faktorisierungssatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

 

???: Ringhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

 

???: Charakteristik eines Integritätsbereiches

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

 

???: Satz über den Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

 

???: Kern eines Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

 

???: Die Restklassenringe von Z

Sei ${}d\geq 0$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}\mathbb {Z} /(d)$ derart, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),\,a\longmapsto {\overline {a}}\,,$

ein Ringhomomorphismus ist.

${}\mathbb {Z} /(d)$ ist ein kommutativer Ring mit ${}d$ Elementen (bei $d\geq 1$).

 

???: Homomorphiesatz für Ringe

Es seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Restklassenring und surjektiver Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein surjektiver Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

${\tilde {\varphi }}\colon R/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow S.$

 

???: Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

 

???: Isomorphiesatz für Restklassenringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ mit dem Restklassenring ${}S=R/I$. Es sei ${}J$ ein weiteres Ideal in ${}R$, das ${}I$ umfasst.

Dann ist das Bild ${}{\overline {J}}$ von ${}J$ in ${}S$ ein Ideal und es gilt die kanonische Isomorphie

${}R/J\cong S/{\overline {J}}\,.$

 

???: Beziehung zwischen Restklassenringe von Z

Seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen, und ${}k$ teile ${}n$.

Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k),\,(a\mod n)\longmapsto (a\mod k).$

 

???: Einheit im Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ein Element ${}a\in R$ genau dann eine Einheit modulo ${}I$, wenn ${}a$ und ${}I$ zusammen das Einheitsideal in ${}R$ erzeugen.

 

???: Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

 

???: Charakterisierung der Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

 

???: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

$a^{p}\equiv a\mod p.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

 

???: Chinesischer Restsatz (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gilt für den Restklassenring ${}R/(f)$ die kanonische Isomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

 

???: Der chinesische Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Chinesischer Restsatz für Einheiten

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ (die ${}p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$

Insbesondere ist eine Zahl ${}a$ genau dann eine Einheit modulo ${}n$, wenn sie eine Einheit modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist für ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Einheiten modulo n

Genau dann ist ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ (d.h. ${}a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

 

???: Satz von Euler

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

 

???: Eulersche Funktion für Primzahlpotenz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p^{r}$ eine Potenz davon.

Dann ist

${}{\varphi (p^{r})}=p^{r-1}(p-1)\,.$

 

???: Eulersche Funktion für faktorisierte Zahl

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).

Dann ist

${}{\varphi (n)}={\varphi (p_{1}^{r_{1}})}{\cdots }{\varphi (p_{k}^{r_{k}})}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}{\cdots }(p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,.$

 

???: Quotientenkörper

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow K$

ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper ${}K$.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q(R)\longrightarrow K$

mit

${}\varphi ={\tilde {\varphi }}{\tilde {i}}\,,$

wobei ${}i$ die kanonische Einbettung

$i\colon R\longrightarrow Q(R)$

bezeichnet.

 

???: Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu faktoriellem Bereich

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$.

Dann besitzt jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit ${}u\in R$ und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$.

 

???: Rechnen in einer Restklassenalgebra

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}R$ mit ${}x$).

1. Man kann stets ${}P$ als normiert annehmen (also $a_{n}=1$; das werden wir im Folgenden tun).
2. In ${}R$ ist ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$.
3. Höhere Potenzen ${}x^{k}$, ${}k\geq n$, kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
4. Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}K$-Basis von ${}R$.
5. ${}R$ ist ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$.
6. In ${}R$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

 

???: Minimalpolynom und Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

 

???: Restklassendarstellung zu erzeugter Algebra

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$.

Dann gibt es eine kanonische ${}K$- Algebraisomorphie

$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

 

???: Minimalpolynom und Irreduzibilität

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

 

???: Restklassendarstellung zu erzeugter Algebra

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$.

Dann gibt es eine kanonische ${}K$- Algebraisomorphie

$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

 

???: Minimalpolynom und Irreduzibilität

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

 

???: Charakterisierung von algebraischen Elementen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

 

???: Erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

 

???: Algebraischer Abschluss ist ...

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

 

???: Reine Gestalt von quadratischen Körpererweiterungen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

 

???: Endliche Erweiterungen von R

Sei

${}\mathbb {R} \subseteq K\,$

eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen

Seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch ${}K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${}\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,.$

 

???: Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann gibt es einen ${}K$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.

 

???: Wichtige Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

1. Zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.
2. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
3. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
4. Zu einer gegebenen Geraden ${}G$ und einem gegebenen Punkt ${}P$ kann man die Gerade ${}G'$ durch ${}P$ zeichnen, die zu ${}G$ parallel ist.

 

???: Konstruierbare Zahlen bilden ...

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Konstruktion der Quadratwurzel

Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

 

???: Charakterisierung konstruierbarer Zahlen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist ${}P$ eine konstruierbare Zahl genau dann,

wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,$

derart ist, dass die Koordinaten von ${}P$ zu ${}K_{n}$ gehören.

 

???: Konstruierbare Zahlen sind ...

Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl

ist algebraisch.

 

???: Minimalpolynom einer konstruierbaren Zahl

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl.

Dann ist der Grad des Minimalpolynoms von ${}z$ eine Potenz von zwei.

 

???: Numerische Bedingung für konstruierbares n-Eck

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige ${}n$-Eck konstruierbar ist.

Dann ist ${}{\varphi (n)}$ eine Zweierpotenz.

 

???: Winkeldreiteilung

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.

 

???: Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.