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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Definitionsliste

Aus Wikiversity
Definition:Differenzierbarkeit

Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben



Definition:Höhere Ableitungen

Es sei offen und

eine Funktion. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist. Die Ableitung

nennt man dann die -te Ableitung von .



Definition:Ganze Funktion

Eine Funktion

die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt ganze Funktion.



Definition:Stammfunktion

Es sei offen und sei

eine Funktion. Eine Funktion

heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.



Definition:Gebiet

Eine zusammenhängende offene Teilmenge heißt Gebiet.



Definition:Biholomorphe Funktion

Eine holomorphe Funktion zwischen offenen Mengen heißt biholomorph, wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist.



Definition:Gebrochen-lineare Funktion

Zu komplexen Zahlen mit

nennt man die Abbildung

eine gebrochen-lineare Funktion.



Definition:Obere Halbebene

Unter der oberen Halbebene in versteht man



Definition:Offener Kreisring

Es sei und reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge



Definition:Punktierte Kreisscheibe

Es sei und eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt und Radius ) versteht man die Menge



Definition:Antilineare Abbildung

Es seien und Vektorräume über den komplexen Zahlen . Eine Abbildung

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

für alle und wenn

für alle und gilt.



Definition:Totale Differenzierbarkeit

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit

bezeichnet.



Definition:Holomorphe Ableitung

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

die holomorphe Ableitung von .



Definition:Antiholomorphe Ableitung

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

die antiholomorphe Ableitung von .



Definition:Winkeltreue Abbildung

Eine lineare Abbildung

zwischen euklidischen Vektorräumen und heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung

gilt.



Definition:Offene Abbildung

Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.



Definition:Reihenkonvergenz

Man sagt, dass eine Reihe von komplexen Zahlen konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen

konvergiert.



Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

konvergiert.



Definition:Cauchy-Produkt

Zu Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.



Definition:Potenzreihe

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .



Definition:Die geometrische Reihe

Für jedes heißt die Reihe

die geometrische Reihe in .


Definition:Exponentialreihe

Für jedes heißt die Reihe

die Exponentialreihe in .



Definition:Kosinusreihe

Für heißt

die Kosinusreihe zu .



Definition:Sinusreihe

Für heißt

die Sinusreihe zu .



Definition:Punktweise konvergente Funktionenfolge

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

(in ) konvergiert.



Definition:Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

derart gibt, dass es zu jedem ein mit

gibt.



Definition:Supremumsnorm

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .



Definition:Konvergenzradius

Für eine Potenzreihe

heißt

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .



Definition:Limes superior

Es sei eine Folge reeller Zahlen und es sei die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

und

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als zu interpretieren).



Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.



Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Definition:Formale Potenzreihe (eine Variable)

Es sei ein Körper und eine Variable. Eine formale Potenzreihe in über ist ein Ausdruck der Form

mit für alle .



Definition:Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ein Körper und eine Potenzreihe. Es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten -Tupel summiert.



Definition:Ring der konvergenten Potenzreihen

Man nennt den Ring aller in einer offenen Umgebung von konvergenten Potenzreihen den Ring der konvergenten Potenzreihen.



Definition:t-Norm einer Potenzreihe

Für eine komplexe Potenzreihe und eine reelle Zahl nennt man

die -Norm von . Ihr Wert liegt in oder ist gleich .



Definition:Komplex-analytische Funktion

Eine Funktion auf einer offenen Teilmenge heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt lokal durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt beschrieben werden kann.



Definition:Differentialform ersten Grades

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Eine -Form (oder Differentialform ersten Grades) auf mit Werten in ist eine Abbildung



Definition:Holomorphe Differentialform

Zu einer offenen Menge und einer holomorphen Funktion nennt man die Differentialform eine holomorphe Differentialform auf .



Definition:Exakte Differentialform

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine - Differentialform auf mit Werten in . Die Differentialform heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung mit gibt.



Definition:Äußere Ableitung einer 1-Form

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige differenzierbare - Differentialform auf , die bezüglich einer Basis von mit Koordinatenfunktionen die Beschreibung

mit -wertigen differenzierbaren Funktionen

besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von die -Form



Definition:Geschlossene Differentialform

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige differenzierbare - Differentialform auf . Die Differentialform heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.



Definition:Zurückgezogene Differentialform

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige - Differentialform auf . Es sei eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen -Vektorraum und

eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform auf mit Werten in , die einem Punkt die lineare Abbildung zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.



Definition:Wegintegral zu einer 1-Form

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine messbare -wertige Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral von längs .



Definition:Sternförmig

Eine Teilmenge in einem reellen Vektorraum heißt sternförmig bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke , , ganz in liegt.



Definition:Laurent-Reihe

Eine Laurent-Reihe über in ist ein formaler Ausdruck der Form mit .



Definition:Konvergenz einer Laurent-Reihe

Eine Laurent-Reihe über konvergiert in , wenn die Reihen und konvergieren.



Definition:Hauptteil (Laurent-Reihe)

Zu einer Laurent-Reihe nennt man die Reihe den Hauptteil.



Definition:Nebenteil (Laurent-Reihe)

Zu einer Laurent-Reihe nennt man die Reihe den Nebenteil.



Definition:Meromorphe Funktion

Es sei eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch eine diskrete Menge und eine holomorphe Funktion

derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.



Definition:Ordnung

Es sei ein Gebiet und eine meromorphe Funktion . Es sei und sei die Laurent-Entwicklung von in . Dann nennt man das minimale mit die Ordnung von in . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Hauptteil

Es sei eine offene Teilmenge und . Zu einer meromorphen Funktion auf mit der Laurent-Entwicklung nennt man den Hauptteil der Funktion in .



Definition:Isolierte Singularität

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass eine isolierte Singularität im Punkt besitzt.



Definition:Hebbare Singularität

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Punkt eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion auf gibt, die fortsetzt.



Definition:Pol (holomorphe Funktion)

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Punkt einen Pol besitzt, wenn keine hebbare Singularität ist, und es ein derart gibt, dass zu einer holomorphen Funktion auf fortsetzbar ist.



Definition:Wesentliche Singularität

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Punkt eine wesentliche Singularität besitzt, wenn weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von ist.



Definition:Residuum

Es sei

eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei die Laurent-Entwicklung von . Dann nennt man den Koeffizienten das Residuum von in . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Relative Homotopie von Wegen

Es sei und seien stetige Wege in einen topologischen Raum mit der Eigenschaft, dass und gilt. Eine Homotopie relativ zu zwischen und ist eine stetige Abbildung

die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. für alle .
  3. für alle .
  4. für alle .


Definition:Fundamentalgruppe

Es sei ein topologischer Raum und ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe von mit Aufpunkt versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.



Definition:Einfach zusammenhängender Raum

Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in nullhomotop ist.



Definition:Kontrahierbarer Raum

Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt , wenn es eine stetige Abbildung

derart gibt, dass die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. für alle

gelten.



Definition:Überlagerung

Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.



Definition:Liftung eines Weges

Es seien und topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg

nennt man einen stetigen Weg

mit

eine Liftung von .



Definition:Windungszahl

Es sei und sei

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man

die Windungszahl von um .



Definition:Kompakt konvergente Funktionenfolge

Es sei ein topologischer Raum und sei

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge gleichmäßig konvergiert.



Definition:Gitter ()

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen versteht man ein vollständiges Gitter .



Definition:Elliptische Funktion

Es sei ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

heißt elliptisch bezüglich oder -doppeltperiodisch, wenn

für alle gilt.



Definition:Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.



Definition:Die Weierstraßsche -Funktion

Es sei ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

die Weierstraßsche -Funktion zum Gitter .



Definition:Eisensteinreihe

Es sei ein Gitter und . Dann heißt

die Eisensteinreihe zum Gitter und zum Gewicht .