Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 32
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.
Aufgabe
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.
Aufgabe
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.
Aufgabe *
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Es sei ein fixierter Vektor und . Zeige, dass
ein affiner Unterraum von ist.
Aufgabe
Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Es sei , , ein Erzeugendensystem von . Zeige, dass ein Vektor genau dann zum orthogonalen Komplement gehört, wenn
für alle ist.
Aufgabe *
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .
Aufgabe
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthogonalbasis von . Zu jeder Teilmenge sei der von , , erzeugte Untervektorraum mit bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von gleich ist.
Aufgabe
Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge eine Orthonormalbasis?
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass
eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.
Aufgabe
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit
gilt.
Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten Fourier-Analysis, bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.
Aufgabe *
Zeige, dass die Funktionen
mit
zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch
gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.
Aufgabe *
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
des an.
Aufgabe *
Aufgabe
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.
Aufgabe
Aufgabe
Erstelle eine Orthonormalbasis des , die ein Vielfaches von enthält.
Aufgabe
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .
Aufgabe
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .
Aufgabe
Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt und seien Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.
- Zu
Untervektorräumen
ist
- Es ist und .
- Es sei
endlichdimensional.
Dann ist
- Es sei endlichdimensional. Dann ist
Aufgabe
Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch
eine Isomorphie zwischen und seinem Dualraum gestiftet wird.
Aufgabe
Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.25 und Lemma 15.6.
Aufgabe
Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf die von erzeugte Gerade.
Aufgabe
Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien
Untervektorräume. Es bezeichne die orthogonale Projektion von auf . Zeige
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Die komplexen Zahlen seien mit dem Standardskalarprodukt versehen.
- Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich .
- Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
- Bestimme zu dem von erzeugten reellen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu .
Aufgabe (5 Punkte)
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen
mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.
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