Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Definitionsabfrage
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
eine
(als Abbildung nach )
zweimal
stetig differenzierbare Kurve.
Dann nennt man die Abbildung
wobei die orthogonale Projektion
bezeichnet, die
zweite tangentiale Ableitung
(oder die
tangentiale Beschleunigung)
von .
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Eine
(als Abbildung nach
)
zweimal
stetig differenzierbare Kurve
heißt
Geodätische
(oder
geodätische Kurve
auf ),
wenn ihre
tangentiale Beschleunigung
überall gleich
ist.
Der Durchschnitt einer
Kugeloberfläche mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf
.
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Ein auf einer offenen Umgebung
definiertes
stetiges
Vektorfeld
mit
für alle
heißt
Normalenfeld
auf
.
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Dann nennt man die Fixierung eines
Einheitsnormalenfeldes
auf
eine
Orientierung
von
.
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei eine
Orientierung
auf
fixiert. Dann heißt die Abbildung
die jeden Punkt
auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die
Gauß-Abbildung
zu
.
Eine differenzierbare Kurve
heißt
bogenparametrisiert,
wenn
für alle
gilt.
Es sei
eine zweifach
stetig differenzierbare
bogenparametrisierte
Kurve
und
,
wobei die zweite Ableitung
nicht
sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius
und dem Mittelpunkt
den
Krümmungskreis
zu in
.
Es sei
eine zweifach
stetig differenzierbare
bogenparametrisierte
Kurve
und
.
Dann nennt man
die
Krümmung
der Kurve in .
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit
für alle
.
Dann nennt man die Abbildung
die auf den Mittelpunkt des
Krümmungskreises
zu
in
abbildet, die
Evolute
zu
.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
ein
Einheitsnormalenfeld
und sei
.
Dann nennt man
die
Weingartenabbildung
in .
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
.
Dann nennt man jeden
Eigenwert
der
Weingartenabbildung
eine
Hauptkrümmung
von in
.
Es sei
offen,
eine
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
.
Dann nennt man jeden
Eigenvektor
der
Weingartenabbildung
eine
Hauptkrümmungsrichtung
von in
.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die Faser zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei und sei
.
Dann nennt man das
arithmetische Mittel
der beiden
Hauptkrümmungen
in
die
mittlere Krümmung
der Fläche
in
.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die Faser zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei und sei
.
Dann nennt man das Produkt
der beiden
Hauptkrümmungen
in
die
Gaußkrümmung
der Fläche
in
.
Es sei
offen,
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
.
Zu einem normierten Tangentialvektor
nennt man
die
Normalkrümmung
von
in
in Richtung
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei
offen,
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
.
Es sei
ein von
verschiedener
Tangentenvektor
und sei
ein von
verschiedener
Normalenvektor.
Dann nennt man die Ebene
eine
Normalenebene
zu
durch
.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension
, wenn es eine
offene Überdeckung
derart gibt, dass jedes
homöomorph
zu einer
offenen Teilmenge
des
ist.
Es sei eine
topologische Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man jede
Homöomorphie
wobei
und
offen
sind, eine
(topologische)
Karte für
.
Es sei eine
topologische Mannigfaltigkeit, es seien
offene Teilmengen und
und
seien
Karten
(mit
offen). Dann heißt die
Abbildung
Es seien
und
.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
zusammen mit einer
offenen Überdeckung
und
Karten
mit
offen derart, dass die
Übergangsabbildungen
-
Diffeomorphismen
für alle
sind, heißt
-Mannigfaltigkeit
oder differenzierbare Mannigfaltigkeit
(der Dimension
vom Differenzierbarkeitsgrad
). Die Menge der Karten
,
,
nennt man auch den
-Atlas
der Mannigfaltigkeit.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
offene Teilmenge
,
die mit den
eingeschränkten
Karten
versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.
Ein
topologischer Raum
heißt zusammenhängend, wenn es in
genau zwei Teilmengen gibt
(nämlich
und der Gesamtraum
),
die sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
sind.
Es seien
und
zwei
-Mannigfaltigkeiten
mit
Atlanten
und
.
Es sei
.
Eine
stetige Abbildung
heißt eine -differenzierbare Abbildung, wenn für alle
und alle
die Abbildungen
-differenzierbar
sind.
Es seien
und
zwei
-
Mannigfaltigkeiten.
Ein
Homöomorphismus
heißt ein
-Diffeomorphismus,
wenn sowohl
als auch
-
Abbildungen
sind.
Zwei
-
Mannigfaltigkeiten
und
heißen
-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen
-
Diffeomorphismus
gibt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Es seien
und
zwei auf
offenen Intervallen
definierte
differenzierbare Kurven
mit
.
Dann heißen
und
tangential äquivalent in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
Karte
mit
derart gibt, dass
gilt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an
versteht man eine
Äquivalenzklasse
von
tangential äquivalenten
differenzierbaren Kurven
durch
. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an
, geschrieben
, versteht man die Menge der
Tangentialvektoren
an
versehen mit der durch eine beliebige
Karte
gegebenen reellen
Vektorraumstruktur.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Den
Dualraum
des
Tangentialraumes
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
und
.
Dann nennt man die Abbildung
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
und
.
Dann nennt man die zur
Tangentialabbildung
duale Abbildung
die Kotangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Dann heißt im Punkt
regulär
(und
ein regulärer Punkt für
),
wenn die
Tangentialabbildung
im Punkt
maximalen Rang
besitzt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und
eine
abgeschlossene Teilmenge.
Dann heißt
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension
von
, wenn es zu jedem Punkt
eine
Karte
gibt mit
offen,
offen und mit
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man die Menge
versehen mit der Projektionsabbildung
das Tangentialbündel von .
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
eine
differenzierbare Abbildung.
Es seien
und
die zugehörigen
Tangentialbündel.
Dann versteht man unter der Tangentialabbildung
die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen
Topologie
versehen, bei der eine Teilmenge
genau dann offen ist, wenn für jede
Karte
die Menge offen in
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine Abbildung
mit der Eigenschaft, dass
für jeden Punkt
ist, heißt
(zeitunabhängiges)
Vektorfeld.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man die Menge
versehen mit der Projektionsabbildung
und derjenigen
Topologie,
bei der eine Teilmenge
genau dann
offen
ist, wenn für jede
Karte
die Menge offen in
ist, das Kotangentialbündel von
.
Es seien
und
zwei
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
mit den
Atlanten
und
.
Dann nennt man den
Produktraum
mit den
Karten
(mit
und
)
das Produkt der Mannigfaltigkeiten
und
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Man nennt den
(in
Konstruktion Anhang 2.1
konstruierten)
-Vektorraum
die
-te äußere Potenz
(oder das
-te Dachprodukt)
von
. Die Abbildung
nennt man die universelle alternierende Abbildung.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine Abbildung
heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.
ist
- linear.
- Es ist
.
{{ inputdefinitionsklappe Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Definition|| }}
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Man nennt zwei
Basen
und
orientierungsgleich, wenn die
Determinante
ihrer
Übergangsmatrix
positiv
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf
ist eine
Äquivalenzklasse
von
Basen
von
unter der
Äquivalenzrelation,
orientierungsgleich
zu sein.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine
Orientierung
erklärt ist.
Es seien und
zwei
endlichdimensionale
orientierte
reelle Vektorräume.
Eine
bijektive
lineare Abbildung
heißt orientierungstreu, wenn für jede
Basis
, die die
Orientierung
auf
repräsentiert, die Bildvektoren
die Orientierung auf
repräsentieren.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
Karte
mit
und
offen heißt orientiert, wenn der
orientiert
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und es seien
und
orientierte Karten.
Dann heißt der zugehörige
Kartenwechsel
orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
das
totale Differential
orientierungstreu ist.
Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einem
Atlas
heißt orientiert, wenn jede Karte
orientiert
ist und wenn sämtliche Kartenwechsel
orientierungstreu
sind.
Ein
topologischer Raum
heißt kompakt
(oder überdeckungskompakt),
wenn es zu jeder offenen Überdeckung
eine endliche Teilmenge
derart gibt, dass
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
-Differentialform
(oder
-Form oder Form vom Grad
)
ist ein
Schnitt
im
-fachen
Dachprodukt
des
Kotangentialbündels,
also eine Abbildung
mit
.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei eine
-Differentialform
auf
. Dann nennt man die
-Form auf
, die der durch
gegebenen
alternierenden Abbildung
entspricht, die mit zurückgezogene
-Form. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
messbare
-
Differentialform
auf
. Dann heißt
eine positive Volumenform, wenn für jede
Karte
(eines gegebenen Atlases)
(mit
und Koordinatenfunktionen
)
in der lokalen Darstellung der Differentialform
die Funktion überall positiv ist.
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis der Topologie
und es sei
eine
positive Volumenform
auf
. Dann heißt die für jede
Borelmenge
durch eine
abzählbare
Zerlegung
(wobei
ein offenes Kartengebiet und
ist)
definierte Zahl
(aus )
das Maß von
zu
oder das Integral von
über
.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
-
Differentialform.
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral von längs
.
Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem
Tangentialraum
,
,
ein
Skalarprodukt
erklärt ist derart, dass für jede Karte
mit
die Funktionen
(für
)
-
differenzierbar
sind.
Es sei eine
orientierte
riemannsche Mannigfaltigkeit
der
Dimension
. Zu
sei
diejenige
alternierende Form auf
(bzw. das entsprechende Element aus
),
die jeder die
Orientierung repräsentierenden
Orthonormalbasis
den Wert
zuordnet. Dann heißt die
-
Differentialform
die kanonische Volumenform auf .
Es seien
und
riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Eine
differenzierbare Abbildung
heißt
lokale Isometrie,
wenn für jeden Punkt
die
Tangentialabbildung
eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.
Es seien
und
riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Eine
differenzierbare Abbildung
heißt
Isometrie,
wenn sie ein
Diffeomorphismus
ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei
in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern
. Es sei
durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir
als Feld auf
auffassen. Dann setzt man
Die
zweite Fundamentalmatrix
zu ist die
(von
)
abhängige Matrix
Es sei
offen
und es sei
eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit der Darstellung
mit stetig differenzierbaren Funktionen
Dann nennt man die -Form
die äußere Ableitung von .
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann definiert man zu einer
differenzierbaren
Differentialform
die äußere Ableitung
unter Bezugnahme auf den
lokalen Fall
und Karten
(
und
offen)
durch
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
differenzierbare
Differentialform
auf
heißt geschlossen, wenn ihre
äußere Ableitung
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
-
Differentialform
auf
heißt exakt, wenn es eine
differenzierbare
-Differentialform
auf
mit
gibt.
Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension versteht man die Menge
mit der induzierten Topologie.
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
euklidischen Halbraum
,
sei ein Punkt und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt stetig differenzierbar in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
stetig differenzierbare
Funktion
mit
gibt.
Es seien
und
.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
zusammen mit einer
offenen Überdeckung
und
Karten
wobei die
offene Mengen im
euklidischen Halbraum
der Dimension
sind, und mit der Eigenschaft, dass die
Übergangsabbildungen
-Diffeomorphismen
sind, heißt
-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
(vom Grad
),
oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten
,
,
nennt man auch den
-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.
Es sei eine
Mannigfaltigkeit mit Rand.
Dann ist der Rand von
, geschrieben
, durch
definiert, wobei Karten sind.
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Teilmenge. Dann heißt
das offene Innere
(oder Innere)
von .
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Teilmenge. Dann heißt
der Abschluss
(oder topologische Abschluss)
von .
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss
der Träger von .
Es sei ein
topologischer Raum.
Eine kompakte Ausschöpfung
,
,
von
ist eine
Folge
von
kompakten Teilmengen
mit
Es sei
eine
offene Überdeckung
eines
topologischen Raumes
. Eine
Partition der Eins
mit
heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes
eine offene Menge
aus der Überdeckung derart gibt, dass der
Träger
von
in
liegt.
Es sei
ein
differenzierbares Vektorbündel
auf einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit
. Das
Kernbündel
des
surjektiven
Bündelhomomorphismus
über heißt Vertikalbündel. Es wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein
differenzierbares Vektorbündel
auf
. Unter einem
Zusammenhang
auf
versteht man eine direkte Summenzerlegung des
Tangentialbündels
in zwei
Untervektorbündel
und
,
wobei
das
Vertikalbündel
ist. Das Unterbündel
nennt man das
Horizontalbündel
des Zusammenhangs.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein
differenzierbares Vektorbündel
auf
, das mit einem
Zusammenhang
versehen sei. Unter der
vertikalen Ableitung
versteht man die Abbildung