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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Definitionsliste

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Definition:Tangentiale Beschleunigung

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

eine (als Abbildung nach ) zweimal stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man die Abbildung

wobei die orthogonale Projektion

bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von .



Definition:Geodätische Kurve

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Eine (als Abbildung nach ) zweimal stetig differenzierbare Kurve

heißt Geodätische (oder geodätische Kurve auf ), wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ist.



Definition:Großkreis

Der Durchschnitt einer Kugeloberfläche mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf .



Definition:Normalenfeld

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung definiertes stetiges Vektorfeld mit

für alle heißt Normalenfeld auf .



Definition:Orientierung (Hyperfläche)

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf eine Orientierung von .



Definition:Gauß-Abbildung

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei eine Orientierung auf fixiert. Dann heißt die Abbildung

die jeden Punkt auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu .



Definition:Bogenparametrisierte Kurve

Eine differenzierbare Kurve

heißt bogenparametrisiert, wenn für alle gilt.



Definition:Krümmungskreis

Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und , wobei die zweite Ableitung nicht sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius

und dem Mittelpunkt

den Krümmungskreis zu in .



Definition:Krümmung (ebene Kurve)

Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und . Dann nennt man

die Krümmung der Kurve in .



Definition:Evolute

Es sei eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Dann nennt man die Abbildung

die auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu in abbildet, die Evolute zu .



Definition:Weingartenabbildung

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei ein Einheitsnormalenfeld und sei . Dann nennt man

die Weingartenabbildung in .



Definition:Hauptkrümmung

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung

eine Hauptkrümmung von in .



Definition:Hauptkrümmungsrichtung

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung

eine Hauptkrümmungsrichtung von in .



Definition:Mittlere Krümmung

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei und sei . Dann nennt man das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen in die mittlere Krümmung der Fläche in .



Definition:Gaußkrümmung

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei und sei . Dann nennt man das Produkt der beiden Hauptkrümmungen in die Gaußkrümmung der Fläche in .



Definition:Normalkrümmung

Es sei offen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Zu einem normierten Tangentialvektor nennt man die Normalkrümmung von in in Richtung . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Normalebene

Es sei offen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Es sei ein von verschiedener Tangentenvektor und sei ein von verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene eine Normalenebene zu durch .



Definition:Topologische Mannigfaltigkeit

Ein topologischer Hausdorff-Raum heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension , wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass jedes homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ist.



Definition:Karte

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

wobei und offen sind, eine (topologische) Karte für .



Definition:Übergangsabbildung

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien offene Teilmengen und und seien Karten (mit offen). Dann heißt die Abbildung

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.


Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien und . Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

mit offen derart, dass die Übergangsabbildungen

- Diffeomorphismen für alle sind, heißt -Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension vom Differenzierbarkeitsgrad ). Die Menge der Karten , , nennt man auch den -Atlas der Mannigfaltigkeit.



Definition:Offene Untermannigfaltigkeit

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge , die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.



Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.



Definition:Differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Es seien und zwei -Mannigfaltigkeiten mit Atlanten und . Es sei . Eine stetige Abbildung

heißt eine -differenzierbare Abbildung, wenn für alle und alle die Abbildungen

-differenzierbar sind.



Definition:Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Es seien und zwei - Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus

heißt ein -Diffeomorphismus, wenn sowohl als auch - Abbildungen sind.



Definition:Diffeomorphe Mannigfaltigkeiten

Zwei - Mannigfaltigkeiten und heißen -diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen - Diffeomorphismus gibt.



Definition:Tangential äquivalente Kurven

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es seien

und

zwei auf offenen Intervallen definierte differenzierbare Kurven mit . Dann heißen und tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine Karte

mit derart gibt, dass

gilt.



Definition:Tangentialvektor

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch . Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

bezeichnet.



Definition:Tangentialraum

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an , geschrieben , versteht man die Menge der Tangentialvektoren an versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.



Definition:Kotangentialraum

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Den Dualraum des Tangentialraumes

an nennt man den Kotangentialraum an . Er wird mit
bezeichnet.


Definition:Tangentialabbildung (in einem Punkt)

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und . Dann nennt man die Abbildung

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Kotangentialabbildung

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei und . Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

duale Abbildung

die Kotangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Regulärer Punkt

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

eine differenzierbare Abbildung. Dann heißt im Punkt regulär (und ein regulärer Punkt für ), wenn die Tangentialabbildung

im Punkt maximalen Rang besitzt.



Definition:Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von , wenn es zu jedem Punkt eine Karte

gibt mit offen, offen und mit



Definition:Tangentialbündel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

versehen mit der Projektionsabbildung

das Tangentialbündel von .



Definition:Tangentialabbildung

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es seien und die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also



Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte

die Menge offen in ist.



Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.



Definition:Kotangentialbündel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

versehen mit der Projektionsabbildung

und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte

die Menge offen in ist, das Kotangentialbündel von .



Definition:Produkt von Mannigfaltigkeiten

Es seien und zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten und . Dann nennt man den Produktraum mit den Karten

(mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .



Definition:Äußere Potenz

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion Anhang 2.1 konstruierten) -Vektorraum die -te äußere Potenz (oder das -te Dachprodukt) von . Die Abbildung

nennt man die universelle alternierende Abbildung.



Definition:Differentialoperator erster Ordnung

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ist - linear.
  2. Es ist .

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Definition:Orientierungsgleiche Basen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen und orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.



Definition:Orientierung (Vektorraum)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ist eine Äquivalenzklasse von Basen von unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.



Definition:Orientierter Vektorraum

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.



Definition:Orientierungstreue lineare Abbildung

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis , die die Orientierung auf repräsentiert, die Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.



Definition:Orientierte Karte

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

mit und offen heißt orientiert, wenn der orientiert ist.



Definition:Orientierungstreuer Kartenwechsel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien und orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

orientierungstreu ist.



Definition:Orientierte Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.



Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.



Definition:Differentialform vom Grad

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine -Differentialform (oder -Form oder Form vom Grad ) ist ein Schnitt im -fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

mit .



Definition:Zurückgezogene Form

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine -Differentialform auf . Dann nennt man die -Form auf , die der durch

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit zurückgezogene -Form. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Positive Volumenform

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine messbare - Differentialform auf . Dann heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

(mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform

die Funktion überall positiv ist.



Definition:Volumenmaß zu positiver Form

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Dann heißt die für jede Borelmenge durch eine abzählbare Zerlegung (wobei ein offenes Kartengebiet und ist) definierte Zahl

(aus ) das Maß von zu oder das Integral von über .



Definition:Wegintegral

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine - Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral von längs .



Definition:Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

mit die Funktionen (für )

- differenzierbar sind.



Definition:Kanonische Volumenform

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension . Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die - Differentialform

die kanonische Volumenform auf .



Definition:Lokale Isometrie

Es seien und riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt die Tangentialabbildung

eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.



Definition:Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Es seien und riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung heißt Isometrie, wenn sie ein Diffeomorphismus ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.



Definition:Zweite Fundamentalmatrix

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge mit den Parametern . Es sei durch ein Einheitsnormalenfeld orientiert, wobei wir als Feld auf auffassen. Dann setzt man

Die zweite Fundamentalmatrix zu ist die (von ) abhängige Matrix



Definition:Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall)

Es sei offen und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit der Darstellung

mit stetig differenzierbaren Funktionen

Dann nennt man die -Form

die äußere Ableitung von .



Definition:Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform die äußere Ableitung unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

( und offen) durch



Definition:Geschlossene Differentialform

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.



Definition:Exakte Differentialform

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine - Differentialform auf heißt exakt, wenn es eine differenzierbare -Differentialform auf mit gibt.



Definition:Euklidischer Halbraum

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension versteht man die Menge

mit der induzierten Topologie.



Definition:Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum)

Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum , sei ein Punkt und es sei

eine Abbildung. Dann heißt stetig differenzierbar in , wenn es eine offene Umgebung und eine stetig differenzierbare Funktion

mit gibt.



Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Es seien und . Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

wobei die offene Mengen im euklidischen Halbraum der Dimension sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

-Diffeomorphismen sind, heißt -Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten , , nennt man auch den -Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.



Definition:Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von , geschrieben , durch

definiert, wobei Karten sind.



Definition:Offenes Innere

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Dann heißt

das offene Innere (oder Innere) von .



Definition:Topologischer Abschluss

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Dann heißt

der Abschluss (oder topologische Abschluss) von .



Definition:Träger einer Funktion

Es sei ein topologischer Raum und

eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss

der Träger von .



Definition:Kompakte Ausschöpfung

Es sei ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung , , von ist eine Folge von kompakten Teilmengen mit



Definition:Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Eine Partition der Eins

mit heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes eine offene Menge aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von in liegt.



Definition:Vertikalbündel

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus

über heißt Vertikalbündel. Es wird mit bezeichnet.



Definition:Zusammenhang (Vektorbündel)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf . Unter einem Zusammenhang auf versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels in zwei Untervektorbündel und , wobei das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel nennt man das Horizontalbündel des Zusammenhangs.



Definition:Vertikale Ableitung

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung versteht man die Abbildung