- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des
Untervektorräume
sind:
,
,
,
.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es seien
und
.
Zeige
-
![{\displaystyle {}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa45b1f346a44a06e79c19b7023f6d78c9aa912f)
Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen
Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von
geerbten Strukturen selbst ein
Vektorraum ist.
Wir betrachten im
die
Untervektorräume
-
![{\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c75efc1cab2c46d34c044a107910a0f85d18755)
und
-
![{\displaystyle {}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c07b3d73a1b0b57f2e5dcc1c9c1a003b4545a87)
Zeige
.
Es sei
ein
Körper, sei
eine Indexmenge, und
der zugehörige
Vektorraum.
Zeige, dass
-
ein
Untervektorraum
von
ist.
Zu jedem
sei
durch
-
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element
eindeutig als
Linearkombination
der Familie
,
,
darstellen lässt.
Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.
Es sei
ein angeordneter Körper und sei
-
![{\displaystyle {}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}K\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f77d2a428f790441f25a4bd828f425f833ef0d)
Zeige, dass
ein
Untervektorraum
des Folgenraums
-
![{\displaystyle {}F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}K\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dff69a5bc83d1c325f15926aee34c1228eb4a3a)
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
![{\displaystyle {}S={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e0d1e544d1876ff2bd9ee0600047e206b2dcd0)
ein
Untervektorraum
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
![{\displaystyle {}T={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e96a786ec01fd77523372d965d454db65d2e51)
ein
Untervektorraum
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
![{\displaystyle {}M={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ monoton}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367f9090bf23bd2bed79e9189074b4ec4b248b5b)
kein
Untervektorraum
ist.
Wir betrachten die Menge
-
![{\displaystyle {}M=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe45e8d145e726e717cb9b29800b43b2f6969dd)
die mit der stellenweisen Addition
von Funktionen eine
kommutative Gruppe
ist. Auf dieser Menge bildet die
Hintereinanderschaltung
von Abbildungen
eine
assoziative Verknüpfung
mit der
Identität
als
neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
![{\displaystyle {}(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6950341150e9b9f0fbe26c8ae425716f10d9ba06)
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
![{\displaystyle {}h\circ (f+g)=h\circ f+h\circ g\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616424ffa73dd0c7073ecb033a41dd9fe42e8eb1)
nicht gilt.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es sei
,
,
eine Familie von Vektoren in
und
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
-
ein
Erzeugendensystem
von
ist und dass sich
als
Linearkombination
der
,
,
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
,
,
ein Erzeugendensystem von
ist.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
- Sei
,
,
eine Familie von
Untervektorräumen
von
. Dann ist auch der Durchschnitt
-
![{\displaystyle {}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884d8c6452e4bcc98c72604b9de56bed8bfb8e4b)
ein Untervektorraum.
- Zu einer Familie
,
,
von Elementen in
ist der
erzeugte Unterraum
ein Unterraum.
- Die Familie
,
,
ist genau dann ein Erzeugendensystem von
, wenn
-
![{\displaystyle {}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9937f6125cfbc16343e62e7c95082b4185594d3)
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten im
die
Untervektorräume
-
![{\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9882680841718818ed2dc524733651c40263bae7)
und
-
![{\displaystyle {}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094488c9ecc8e42fb4226eb753f89dfa75593429)
Zeige
.
Man gebe ein Beispiel für einen
Vektorraum
und von drei Teilmengen in
an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.