- Aufwärmaufgaben
Wir betrachten die beiden Rechtecke
-
im
![{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fa2d9aa0dbed91189221a91a785f4609fe2589)
. Schreibe den Durchschnitt und die Differenzmengen als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Schreibe die Vereinigung der beiden Mengen auf mehrere Arten als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Welche Darstellung ist eine Verfeinerung einer anderen Darstellung? Wie sieht ein „Raster“ aus, mit dem man alle beteiligten Mengen ausdrücken kann? Bestätige, dass die Summe der beteiligten Rechteckinhalte stets gleich ist.
Zeige, dass das durch die drei Punkte
und
gegebene
abgeschlossene Dreieck nicht zum
Produktpräring von
und
gehört.
Es seien
und
Messräume
und es sei
das zur
Belegungsfunktion
-
gehörige
Maß
auf
und
das zur Belegungsfunktion
-
gehörige Maß auf
(diese Maße seien als
-
endlich
angenommen).
Zeige, dass
das zur Belegungsfunktion
-
gehörige Maß auf
ist.
Es seien
und
zwei
-
endliche Maßräume,
es seien
und
zwei
Messräume
und es seien
-
und
-
zwei
messbare Abbildungen,
unter denen die
Bildmaße
und
-endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der
Produktabbildung
die Gleichung
-
![{\displaystyle {}\varphi _{*}(\mu _{1}\otimes \mu _{2})=((\varphi _{1})_{*}\mu _{1})\otimes ((\varphi _{2})_{*}\mu _{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd255fa691e501ec7df5740d455074e43fd3549)
gilt.
Es seien
und
endliche Maßräume
und
ihr
Produktmaßraum.
Zeige, dass das
Bildmaß
von
unter der Projektion
-
gleich
(dem umskalierten Maß)
ist.
Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
-
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke
(mit
und
)
überdecken lässt.
Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu
Lemma 5.3 (1)
am Beispiel des
deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.
Durch eine Kombination von Produktmaß und Bildmaß kann man die sogenannte Faltung von Maßen definieren.
- Aufgaben zum Abgeben
Zeige, dass die
offene
Einheitskreisscheibe nicht zum
Produktpräring von
und
gehört.
Es sei
die Vereinigung der drei Quader
-
im
. Bestimme
-
für jedes
und
-
für jedes
(dabei ist
einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich
zusammensetzt).
Einen Maßraum mit dem Gesamtmaß
nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das folgende Konzept enorm wichtig.
Es seien
und
zwei
Wahrscheinlichkeitsräume
und
ihr
Produktraum.
Zeige, dass die „Zylinderalgebren“
-
unabhängig
sind.