Ein Punkt
in
definiert den Punkt
in
. Für ein Polynom
und
gilt
für die Homogenisierung
. Daher gilt insbesondere
für alle Punkte
und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal
. Es ist also
.
Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm
-
vor
(wobei alle Abbildungen injektiv sind).
Der
projektive Abschluss von
wird von einer Menge
mit einem homogenen Ideal
und mit
und
beschrieben.
Wir haben die Inklusion
zu zeigen, was aus
folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf
homogen beschränken. Wir schreiben
,
so dass
kein Vielfaches von
ist. Da
auf
verschwindet und da
eingeschränkt auf
keine Nullstelle besitzt, folgt, dass
auf
verschwindet. Wir können also annehmen, dass
kein Vielfaches von
ist. Dann ist die
Dehomogenisierung
-
![{\displaystyle {}{\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eb2cba63530f9261d6e1c1d9b757a130935915)
die Nullfunktion auf
und besitzt den gleichen Grad wie
. Nach dem
Hilbertschen Nullstellensatz
gehört
zu
(wir können annehmen, dass
ein Radikal ist).
Dann gehört aber auch
, das sich aus
durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von
, also zu
.